Matem¨¢ticas para apilar naranjas

Cualquier frutero lo tiene claro: la mejor forma de colocar naranjas, ocupando el menor espacio posible, ¡ªel denominado problema del empaquetamiento de esferas¡ª, consiste en formar con ellas una pir¨¢mide, en la cual cada capa de naranjas se asienta sobre los huecos de la capa inferior. Pero realmente, de entre todas las disposiciones posibles de naranjas, ?es esta la que mejor aprovecha el espacio? El problema, que es mucho m¨¢s complejo de lo que pudiera parecer, fue resuelto hace nada m¨¢s que 25 a?os y la comprobaci¨®n de que la respuesta era correcta dur¨® casi 20 a?os.

El problema fue propuesto en 1611 por el ilustre cient¨ªfico Johannes Kepler. Conjetur¨® que, en su versi¨®n en dos dimensiones ¡ªque consiste en determinar cu¨¢l es la manera ¨®ptima de colocar c¨ªrculos en un plano¡ª una disposici¨®n an¨¢loga en dos dimensiones a la de la pir¨¢mide ¡ªsiguiendo un patr¨®n hexagonal¡ª, era la ¨®ptima. La demostraci¨®n rigurosa de esta afirmaci¨®n lleg¨® en 1942, de manos del matem¨¢tico h¨²ngaro L¨¢szl¨® Fejes T¨®th, quien concluy¨® una demostraci¨®n incompleta de Axel Thue, propuesta en 1890.

El problema de las esferas tridimensionales result¨® ser m¨¢s dif¨ªcil a¨²n. Hubo que esperar hasta 1998 para que public¨® el matem¨¢tico estadounidense Thomas C. Hales demostrase que el empaquetamiento de esferas ¨®ptimo en tres dimensiones es el que sigue la disposici¨®n de pir¨¢mides. En su demostraci¨®n usaba, adem¨¢s, algunos c¨¢lculos hechos con ordenadores y la prueba de que dichos c¨¢lculos eran correctos se demor¨® hasta 2014.

Los matem¨¢ticos han estudiado tambi¨¦n empaquetamientos en dimensiones m¨¢s altas que, adem¨¢s, tienen aplicaciones en ¨¢reas como la correcci¨®n de c¨®digos. Si tratamos cada mensaje de (a lo sumo) 20 bits de longitud como un v¨¦rtice de un cubo 20 dimensional, podemos aprovechar buenos empaquetamientos de esferas en dimensi¨®n 20 para corregir mensajes err¨®neos.

Concretamente, si recibimos un mensaje que no entra dentro de nuestra lista de mensajes admisibles ¡ªya sea porque no tenga sentido o porque tengamos una lista preestablecida de mensajes que consideramos admisibles¡ª, podr¨ªa significar que ha habido un fallo en el canal de comunicaci¨®n y, en tal caso, ser¨ªa bueno poder corregirlo. Para intentar averiguar cu¨¢l era el mensaje inicial, podemos buscar el mensaje, de entre todos los admisibles, que es m¨¢s parecido al que hemos recibido. Para ello, simplemente se comparan distancias en el espacio 20-dimensional de los mensajes.

As¨ª, si disponemos de buenos empaquetamientos de esferas de dimensiones altas, podemos interpretarlas como mensajes admisibles que permiten corregir errores en la comunicaci¨®n. El hecho de que ocupen una fracci¨®n peque?a del espacio se traduce en que los mensajes utilizan la menor cantidad posible de bits.

Sin embargo, el problema de los empaquetamientos ¨®ptimos en dimensiones altas ¡ªmayores que tres¡ª sigue siendo un problema abierto: solo se han encontrado las configuraciones ¨®ptimas en dimensi¨®n ocho y en dimensi¨®n 24.

El resultado en dimensi¨®n ocho fue demostrado en 2016 por la matem¨¢tica ucraniana Maryna Viazovska, que acababa de terminar el doctorado en aquel momento. Es un hito muy destacado de la matem¨¢tica reciente ya que, adem¨¢s, sus m¨¦todos simplificaban enormemente los que usaba Hales para demostrar el caso tridimensional. Lo cual no quiere decir, ni mucho menos, que la demostraci¨®n fuera f¨¢cil: el trabajo a¨²na herramientas y t¨¦cnicas del an¨¢lisis de Fourier, de la teor¨ªa de n¨²meros y del campo de la optimizaci¨®n. Adem¨¢s, con su demostraci¨®n no era necesaria la ayuda computacional.

Con esta publicaci¨®n, Viazovska adquiri¨® r¨¢pidamente fama mundialmente y, junto con otros colaboradores, resolvi¨® el problema en dimensi¨®n 24 un a?o despu¨¦s, adaptando los m¨¦todos ya usados en dimensi¨®n ocho. Sin embargo, estos m¨¦todos no parecen funcionar ¡ªsin modificaciones importantes¡ª para m¨¢s dimensiones y nadie ha conseguido resultados definitivos en cualquier otra dimensi¨®n hasta la fecha. Para algunas de las dem¨¢s dimensiones se ha demostrado que algunas de las conjeturas actuales son bastante cercanas al ¨®ptimo, pero no hay demostraciones completas.

?Se resolver¨¢ el problema de los empaquetamientos de esferas en alguna otra dimensi¨®n pronto? Eso ya entra en el terreno de la especulaci¨®n. Pero de lo que podemos estar seguros es de que, aparte del inter¨¦s que pueda suscitar el resultado, es probable que lo m¨¢s destacable de una demostraci¨®n en este sentido sea una nueva conexi¨®n profunda entre distintos campos de las matem¨¢ticas ¡ªcomo pas¨® con la demostraci¨®n de Viazovska¡ª, algo que siempre es muy deseable para abrir nuevas l¨ªneas de investigaci¨®n.

Pablo Hidalgo Palencia es investigador predoctoral en el ICMAT

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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