El ¨¢baco neperiano

Nos pregunt¨¢bamos la semana pasada por la relaci¨®n entre el metro y el segundo, nuestra unidad de longitud y nuestra unidad de tiempo. Pues bien, la relaci¨®n no podr¨ªa ser m¨¢s directa: el semiper¨ªodo de oscilaci¨®n de un p¨¦ndulo con un hilo de 1 metro es casi exactamente 1 segundo (para ser exacto, el hilo ha de medir 99,4 cent¨ªmetros, seg¨²n determin¨® Mersenne en 1664). De hecho, antes de que se impusiera la definici¨®n cl¨¢sica del metro como diezmillon¨¦sima parte del cuadrante del meridiano terrestre, primero Burattini y luego Talleyrand propusieron que la unidad de medida fuera la longitud de un ¡°p¨¦ndulo de segundos¡±, que es como se denomina aquel cuyo per¨ªodo de oscilaci¨®n (el recorrido de ida y vuelta: el tic tac, para entendernos) es de 2 segundos.

En principio, la del p¨¦ndulo parece una forma mucho m¨¢s sencilla de determinar una unidad de longitud que medir el meridiano terrestre. ?Por qu¨¦ creen mis sagaces lectoras/es que se opt¨® por el segundo criterio?

El prol¨ªfico y visionario Tito Livio Burattini (1617-1681) no consigui¨® imponer su sistema de unidades basado en el segundo, pero s¨ª que impuso el nombre de ¡°metro¡± para la unidad de longitud. Sus aportaciones no fueron solo te¨®ricas, pues tambi¨¦n invent¨® y construy¨® ingeniosos artefactos, como una aeronave (que consigui¨® volar con un gato como tripulante) y una m¨¢quina calculadora.

En cuanto al cubito de hielo de la semana pasada, al flotar desplaza un volumen de agua equivalente a su peso, y como al disolverse se convertir¨¢ en agua, ocupar¨¢ exactamente dicho volumen, por lo que el agua no rebosar¨¢ del vaso colmado, como sugiere la intuici¨®n. De hecho, el nivel del agua, al enfriarse, incluso descender¨¢ imperceptiblemente, ya que alcanza su m¨¢xima densidad a los 4 ?C.

Y en el problema del agua y el vino, es f¨¢cil ver, si se enfoca adecuadamente, que habr¨¢ la misma cantidad de vino en el vaso de agua que agua en el vaso de vino, ya que al final de la operaci¨®n hay en cada vaso la misma cantidad de l¨ªquido que antes (puesto que quitamos una cucharada y a?adimos otra); por lo tanto, lo que de vino hay en el primer vaso es igual a lo que falta de agua y viceversa.

Mis sagaces lectoras/es no dejar¨¢n de apreciar la similitud de estos dos acertijos acu¨¢ticos, que aparentemente no tienen nada que ver.

?baco y logaritmos

Volviendo a Burattini, su pionera m¨¢quina calculadora se basaba en el ¨¢baco neperiano, lo cual es un buen pretexto para hablar de Napier.

El gran matem¨¢tico escoc¨¦s John Napier de Merchiston (1550-1617) es conocido, sobre todo, como padre de los logaritmos, ese providencial invento que, como dijo Laplace, duplic¨® la vida ¨²til de los astr¨®nomos al simplificar enormemente los complicados c¨¢lculos astron¨®micos. La simplificaci¨®n de los c¨¢lculos fue una de las principales preocupaciones de Napier, que, adem¨¢s de confeccionar las primeras tablas de logaritmos, populariz¨® el uso de la coma para diferenciar la parte decimal de la parte entera de los n¨²meros e ide¨® el ¨¢baco que lleva su nombre.

El ¨¢baco neperiano consta de un tablero con reborde y diez varillas cuya altura coincide con la del tablero, para que encajen perfectamente en ¨¦l. El reborde izquierdo del tablero est¨¢ dividido en nueve casillas numeradas del 1 al 9. Las varillas tambi¨¦n est¨¢n divididas en nueve casillas; en las casillas superiores de las varillas est¨¢n, respectivamente, los n¨²meros del 0 al 9, y las otras ocho casillas de cada varilla est¨¢ divididas por sendas diagonales en dos partes, numeradas de la manera que se ve en la figura.

Y en la siguiente figura vemos un sencillo ejemplo de utilizaci¨®n del ¨¢baco, del que se puede deducir su funcionamiento, as¨ª como su relaci¨®n con los logaritmos. ?Se puede?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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