Particiones num¨¦ricas

Nos pregunt¨¢bamos la semana pasada c¨®mo se puede repartir una tarta (o cualquier otra cosa) entre tres personas de forma que las tres den por bueno el reparto. En el caso de dos personas es muy sencillo, y adem¨¢s es una situaci¨®n que se da a menudo en la vida real, cuando, por ejemplo, dos ni?os tienen que repartirse una chocolatina o un bocata: uno hace la partici¨®n y el otro elige, con lo que el primero pondr¨¢ buen cuidado en lograr que las dos partes sean iguales. Pero en el caso de tres personas -a las que llamaremos A, B y C- la cuesti¨®n se complica bastante. Una de las posibles soluciones (no es ¨²nica, e invito a mis sagaces lectoras/es a buscar otras) es la siguiente:

A divide la tarta en tres partes, B elige dos y la que queda es para A. Si B considera que las dos partes que ha elegido son equivalentes, le da a elegir a C entre ambas y se queda con la restante (aunque C tambi¨¦n tiene la opci¨®n de escoger la parte de A). Si B considera que los dos trozos que ha elegido no son iguales, corta una parte de uno de ellos para igualarlos antes de ofrec¨¦rselos a C; en este caso queda un trozo residual que los tres pueden repartirse de la misma manera: uno de ellos (no tiene por qu¨¦ ser otra vez A) lo divide en tres partes, etc. Te¨®ricamente, el proceso podr¨ªa repetirse ad infinitum (o hasta alcanzar el nivel molecular); pero en la pr¨¢ctica no suele ser necesario pasar del primer paso, a no ser que la tripartici¨®n de A sea claramente inequitativa.

En cuanto a la divisi¨®n de un tri¨¢ngulo obtus¨¢ngulo en acut¨¢ngulos, la condici¨®n innecesaria que se suele autoimponer la gente al intentar resolverlo es la de que todos los acut¨¢ngulos tengan todos sus v¨¦rtices sobre los lados del obtus¨¢ngulo, y de este modo es imposible; pero, como se puede ver en el dibujo enviado por Enol Ferre, la partici¨®n es posible haciendo coincidir varios v¨¦rtices de los acut¨¢ngulos en un punto interior del obtus¨¢ngulo. ?Es m¨ªnima esta divisi¨®n en siete acut¨¢ngulos? (Obs¨¦rvese, dicho sea de paso, el paralelismo ¡°psicol¨®gico¡± con el famoso problema de los nueve puntos a unir con cuatro trazos rectil¨ªneos).

Partici¨®n de un n¨²mero natural

Y puesto que hemos hablado de partir y repartir, es obligado mencionar el concepto matem¨¢tico de partici¨®n de un n¨²mero natural, que consiste en descomponerlo en la suma de otros n¨²meros naturales (es decir, enteros y positivos).

El de las particiones es uno de esos fascinantes temas matem¨¢ticos que, a partir de un planteamiento extremadamente simple, cuya comprensi¨®n y primeros desarrollos est¨¢n al alcance de cualquiera, abre un campo de ilimitadas posibilidades e innumerables aplicaciones.

Veamos las particiones de los primeros n¨²meros naturales:

El 1 no puede descomponerse en sumandos, por lo que solo tiene una partici¨®n (el n¨²mero mismo se considera una de sus particiones).

El 2 se puede descomponer en sumandos de una sola manera: 2 = 1 + 1 y, por tanto, tiene dos particiones.

El 3 tiene tres particiones 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1.

El 4 tiene cinco particiones: 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1.

El 5 tiene siete particiones¡­

El matem¨¢tico brit¨¢nico Alfred Young (1873-1940) ide¨® los diagramas que llevan su nombre para visualizar las particiones:

Invito a mis sagaces lectores a interpretar los diagramas de Young, a relacionarlos con otro asunto tratado hace unos meses en esta misma secci¨®n, a construir la secuencia del n¨²mero de particiones de los sucesivos n¨²meros naturales y a sacar las conclusiones pertinentes.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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