Particiones y poliomin¨®s

La aparentemente imposible partici¨®n de un tri¨¢ngulo obtus¨¢ngulo en acut¨¢ngulos, de la que nos hemos ocupado las dos ¨²ltimas semanas, requiere que al menos un v¨¦rtice com¨²n de los acut¨¢ngulos no sea perimetral, sino interior (ver figura de la entrega anterior), y en ese v¨¦rtice han de confluir al menos 5 ¨¢ngulos, para que todos sean agudos; por lo tanto, la divisi¨®n requiere un m¨ªnimo de 7 acut¨¢ngulos: 5 interiores y 2 m¨¢s a ambos lados del pent¨¢gono que forman aquellos.

En cuanto a la sucesi¨®n de los respectivos n¨²meros de particiones de los n¨²meros naturales (y si se considera que el 0 tiene, al igual que el 1, una partici¨®n), es la siguiente:

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792¡­

Se designa como p(n) el n¨²mero de particiones del n¨²mero natural n, y es f¨¢cil ver que su crecimiento se ¡°acelera¡± a medida que crece n; as¨ª:

p(10) = 42

p(100) = 190.569.292

p(200) = 3.972.998.029.388

p(1000) = 24.061.467.864.032.622.473.692.149.727.991

No hay una f¨®rmula sencilla que nos d¨¦ el n¨²mero de particiones en funci¨®n de n; los famosos matem¨¢ticos G. H. Hardy y Srinivasa Ramanujan estudiaron la funci¨®n p(n) a principios del siglo pasado y obtuvieron una interesante expresi¨®n asint¨®tica (cuando n tiende a infinito), demasiado compleja para abordarla aqu¨ª.

A mis sagaces lectoras/es no les habr¨¢ pasado inadvertido el paralelismo (identidad, m¨¢s bien) entre los esquemas de Young para la representaci¨®n de las particiones, vistos la semana pasada, y los poliomin¨®s, a los que dedicamos varias entregas de El juego de la ciencia el a?o pasado (ver Poliomin¨®s, 5 de junio de 2020, y anteriores).

De acuerdo con los esquemas de Young, la partici¨®n 10 = 5 + 4 + 1 se representa como se muestra en la figura (el orden de los sumandos es irrelevante, pero se suelen disponer de mayor a menor):

Este poliomin¨® de orden 10 es uno de los 4.460 decomin¨®s (sin agujeros) posibles, muchos m¨¢s que las 42 particiones de 10 en sumandos: menos de una cent¨¦sima parte de los decomin¨®s son esquemas de Young. ?Podemos sacar alguna conclusi¨®n de esta proporci¨®n o plantear alguna generalizaci¨®n al respecto?

El n¨²mero de Ramanujan

Al hablar de Hardy y Ramanujan en relaci¨®n con las particiones de n¨²meros enteros en sumandos, es inevitable recordar la famosa an¨¦cdota relativa al n¨²mero 1729, que pas¨® a llamarse el n¨²mero de Ramanujan. En cierta ocasi¨®n, Hardy le coment¨® al genial matem¨¢tico indio que hab¨ªa tomado un taxi con el n¨²mero de licencia 1729 y que ese n¨²mero le hab¨ªa parecido muy poco interesante, a lo que Ramanujan replic¨®: ¡°No diga eso, Hardy, 1729 es el menor n¨²mero que se puede expresar de dos maneras distintas como suma de dos cubos¡±.

Efectivamente, 1729 = 10? + 9? = 12? + 1? ; pero ?es realmente el menor n¨²mero con esta propiedad? Y, dicho sea de paso, ?tiene sentido hablar de n¨²meros ¡°poco interesantes¡±?

Por otra parte, y sin pretender quitarle m¨¦rito al gran Ramanujan, su proeza de c¨¢lculo mental, siendo sin duda notable, no es tan asombrosa como parece a primera vista. Alguien muy familiarizado con los n¨²meros conoce bien los cubos de los primeros enteros y no es dif¨ªcil que se d¨¦ cuenta a primera vista de que 1728 = 12? y 729 = 9? , y de ah¨ª a ver que sumando 1 al primer cubo y 1000 al segundo se obtiene 1729 no hay m¨¢s que un paso.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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