Pol¨ªgonos reticulares

La multicolor ilustraci¨®n del ostomachion de la semana pasada se podr¨ªa haber resuelto con solo tres colores sin que dos piezas contiguas fueran del mismo color, como se ve en la figura enviada por Salva Fuster, en la que adem¨¢s se indican las ¨¢reas de las piezas.

Esta es la forma m¨¢s reducida de expresar las ¨¢reas relativas de las piezas con n¨²meros enteros, puesto que se toma como unidad la menor de ellas. Si queremos que tambi¨¦n los lados se expresen mediante n¨²meros enteros, lo cual facilita los c¨¢lculos, podemos utilizar como unidad lineal la doceava parte del lado, con lo que el ¨¢rea pasa a ser de 144 unidades cuadradas (?cu¨¢ntas de ellas corresponden a la pieza mayor?).

Adem¨¢s, la elecci¨®n de esta unidad facilita la construcci¨®n de figuras, pues muchos de los lados de las piezas miden un n¨²mero entero de unidades, con lo que es m¨¢s sencillo compararlos entre s¨ª. Y entre las figuras que se pueden construir con todas las piezas del ostomachion, es especialmente interesante el rect¨¢ngulo (de hecho, a veces el rompecabezas viene en una caja rectangular), que, como pista, dir¨¦ que hay una ¡°l¨ªnea de fractura¡± vertical que lo divide en dos partes iguales que parecen cuadrados (?pueden serlo?). ?Pueden construirse otros rect¨¢ngulos de dimensiones distintas? Invirtiendo una de las piezas, s¨ª, como el de 6x24, hallado tambi¨¦n por Fuster (que no en vano significa carpintero) con un ostomachion de fabricaci¨®n casera. ?Y sin invertir ninguna pieza?

Casualmente (o tal vez no) en este caso tambi¨¦n hay una l¨ªnea de fractura central que divide el rect¨¢ngulo en dos partes iguales: dos domin¨®s de 6x12. ?Ser¨¢ siempre as¨ª en todos los rect¨¢ngulos posibles (incluido el cuadrado) o se puede construir alguno sin l¨ªneas de fractura verticales?

Teorema de Pick

Al encajar el ostomachion en una ret¨ªcula de 12x12, sus piezas se convierten en pol¨ªgonos reticulares, que son aquellos pol¨ªgonos simples (o sea, sin agujeros) cuyos v¨¦rtices coinciden con otros tantos v¨¦rtices de una cuadr¨ªcula, lo que equivale a decir que tienen coordenadas enteras con respecto a unos ejes cartesianos.

En 1899, el matem¨¢tico austr¨ªaco George Alexander Pick demostr¨® el teorema que lleva su nombre, que permite hallar con facilidad el ¨¢rea de un pol¨ªgono reticular a partir del n¨²mero de v¨¦rtices de la cuadr¨ªcula que quedan dentro del pol¨ªgono (i) y del n¨²mero de v¨¦rtices que hay sobre los lados del mismo (p). As¨ª, en la figura adjunta i = 15 y p = 10.

Invito a mis sagaces lectoras/es a hallar la sencilla f¨®rmula que da el ¨¢rea del pol¨ªgono en funci¨®n de i y p. No pido que demuestren el teorema de Pick (aunque no estar¨ªa de m¨¢s que lo intentasen), sino que, observando las piezas del ostomachion, as¨ª como esta ¨²ltima figura, hallen una f¨®rmula (insisto, muy sencilla) que permita hallar sus respectivas ¨¢reas en funci¨®n del n¨²mero de sus puntos interiores y perimetrales. Es f¨¢cil encontrar esta f¨®rmula reticular en la gran ret¨ªcula de internet; pero no se trata de eso, sino de deducirla ¡°fermianamente¡± (como hemos visto en otras ocasiones, Fermi ten¨ªa una especial habilidad para sacar conclusiones acertadas a partir de datos fragmentarios). Pista: la f¨®rmula de Pick se parece formalmente a la de Euler para los poliedros: C + V = A + 2 (caras m¨¢s v¨¦rtices igual a aristas m¨¢s dos).

Y hablando de poliedros, es tentador intentar ampliar el teorema de Pick a tres dimensiones para hallar el volumen de un poliedro reticular en funci¨®n del n¨²mero de sus puntos interiores y fronterizos; pero en 1957 John Reeve demostr¨® que no es posible, y lo hizo mediante un ingenioso contraejemplo que, en su honor, se denomina tetraedro de Reeve. Pero ese es otro art¨ªculo.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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