Alrededor de la mesa

El octavo t¨¦rmino de la sucesi¨®n de Sylvester, como vimos la semana pasada, tiene 27 cifras, y, como empieza por 1 y cada t¨¦rmino es aproximadamente el cuadrado del anterior, el noveno t¨¦rmino tendr¨¢ 2 x 27 ¨C 1 = 53 cifras.

En cuanto a la serie de los inversos de los t¨¦rminos de la sucesi¨®n de Sylvester, he aqu¨ª lo que comenta Salva Fuster:

¡°Partimos de un cuadrado de ¨¢rea 1 y vamos haciendo filas de cuadrados lo m¨¢s grandes posibles, pero con la condici¨®n de que cada nueva fila no complete el cuadrado inicial.

De este modo tenemos:

- Fila 1: 2 cuadrados de lado 1/2. No podemos coger un ¨²nico cuadrado de lado 1, pues se completa el cuadrado inicial.

- Fila 2: 3 cuadrados de lado 1/3 (1/2+1/3 es menor que 1). No podemos coger de nuevo dos cuadrados de lado 1/2, pues se completa el cuadrado inicial.

- Fila 3: No podemos coger cuadrados de 1/4, ni de 1/5, ni de 1/6, pero s¨ª de 1/7, que es el mayor tama?o posible que sigue siendo menor que 1 (1/2+1/3+1/7=41/42).

- Al seguir, los tama?os vienen determinados por los inversos de la sucesi¨®n de Sylvester.

Por lo tanto, la suma de los inversos de la sucesi¨®n de Sylvester tiende a 1¡å.

Y eso es precisamente lo que nos dice gr¨¢ficamente la figura-pista de la semana pasada.

Y con respecto a la posibilidad de expresar cualquier n¨²mero racional en forma de fracci¨®n egipcia, he aqu¨ª el comentario de Manuel Amor¨®s:

¡°Queremos expresar p/q como fracci¨®n egipcia. Siendo p menor q.

q = pn+r

1/(q/p) = 1/(n+r/p)

1/(n+1) < 1/(q/p) < 1/n

p/q = 1/(n+1)+A

A = p/q-1/(n+1) = (p-r)/(q(n+1))

El numerador de la fracci¨®n A es menor que el inicial. Si seguimos aplicando el procedimiento llegar¨¢ un momento que todos los sumandos tendr¨¢n numerador 1¡å.

La consabida mesa redonda

En el ¨²ltimo momento, apareci¨® en la secci¨®n de comentarios un interesante problema sobre el viejo tema de los comensales que se sientan alrededor de una mesa:

Tenemos una mesa redonda con n sillas equiespaciadas en las que van a sentarse n personas. Las personas est¨¢n ordenadas en fila para ir sent¨¢ndose secuencialmente. La primera se sienta en una silla cualquiera, la segunda se sienta a distancia 1 de la primera hacia su izquierda (o sea, al lado de la primera), la tercera se sienta a distancia 2 de la segunda tambi¨¦n hacia la izquierda, y as¨ª sucesivamente.

Encontrar los valores de n para los que se pueden sentar todos los comensales cumpliendo las condiciones.

Pero antes abordemos uno m¨¢s f¨¢cil, para ir calentando neuronas:

?De cu¨¢ntas maneras distintas pueden sentarse alrededor de una mesa tres matrimonios mal avenidos de manera que nadie est¨¦ al lado de su c¨®nyuge? ?Y si, adem¨¢s de mal avenidos, son matrimonios heterosexuales y se quiere mantener la tradicional alternancia chico-chica? ?Y si en vez de tres matrimonios son cuatro, cinco, seis¡­?

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