Velas enigm¨¢ticas

La probabilidad de que 3 cartas sacadas al azar de la baraja del Set ¡ªel juego en el que nos hemos centrado las dos ¨²ltimas semanas¡ª, formen un set es, sencillamente, la probabilidad de que la tercera carta extra¨ªda sea la ¨²nica de las 79 restantes que puede ¡°conjuntar¡± con las dos primeras, sean estas las que fueren, o sea, 1/79.

Como el juego comienza colocando sobre la mesa 12 cartas al azar, habr¨¢ tantos comienzos posibles como combinaciones de 81 elementos tomados de 12 en 12, o sea, 81.80.79¡­70/12!: unos 70,7 billones.

El n¨²mero m¨¢ximo de cartas que puede haber sobre la mesa sin que se pueda formar set alguno es 20; aunque con 19 la probabilidad de que eso ocurra ya es inferior a una entre mil millones. Como an¨¦cdota curiosa, esto lo demostr¨® el matem¨¢tico italiano Giuseppe Pellegrino en 1971, antes de que se creara el Set (pero ese es otro art¨ªculo).

Y en cuanto a la media de sets que podemos esperar con 12 cartas sobre la mesa, esto es lo que comenta nuestro ¡°usuario destacado¡± Francisco Montesinos: ¡°Si tenemos 12 cartas extra¨ªdas al azar, para formar un set la primera se puede escoger de 12 maneras , la segunda de 11 y la tercera tiene una probabilidad p = 10/79 de estar entre las diez restantes, por lo que el n¨²mero probable de sets ser¨¢ 12.11.(10/79)/6 = 220/79 = 2,78¡å.

En el caso del Set reducido, con solo 3 caracter¨ªsticas y 27 cartas, la probabilidad de que 3 cartas sacadas al azar formen set ser¨¢ 1/25, ya que, para cualquier pareja inicial, solo una de las 25 cartas restantes formar¨¢ set con ellas dos.

No hay m¨¢s cera que la que arde

Con los cirios pascuales a¨²n humeantes, parece un buen momento para plantear algunos problemas relativos a las velas y sus tiempos de combusti¨®n:

1. El lunes encend¨ª una vela y la mantuve encendida durante una hora. El martes encend¨ª dos velas y las mantuve encendidas durante una hora. El mi¨¦rcoles encend¨ª tres velas y las mantuve encendidas durante una hora, y as¨ª sucesivamente, encendiendo cada d¨ªa una vela m¨¢s y manteni¨¦ndolas encendidas una hora¡­ hasta hoy, que me he quedado sin velas. Sabiendo que cada vela tarda 4 horas en consumirse por completo, ?qu¨¦ d¨ªa es hoy?

2. ¡°?Qu¨¦ r¨¢pido pasa el tiempo! ¡ªdice con pesadumbre un anciano mientras guarda las velas de su ¨²ltima tarta de aniversario¡ª. Anteayer hab¨ªa 77 velitas en mi tarta de cumplea?os y el a?o que viene necesitar¨¦ 3 m¨¢s¡±. ?Cu¨¢ndo es su cumplea?os?

3. Tenemos dos velas cil¨ªndricas de la misma altura y el mismo material, pero una algo m¨¢s gruesa que la otra, de manera que una tarda 4 horas en consumirse por completo y la otra tarda 5 horas. En un momento dado las apagamos las dos a la vez y vemos que la altura de la vela m¨¢s gruesa es cuatro veces mayor que la de la otra. ?Cu¨¢nto tiempo ha transcurrido?

Y, para terminar, uno muy similar al anterior tomado de la XX Olimp¨ªada Matem¨¢tica:

4. Hemos colocado en el jard¨ªn dos velas de distinta altura. La m¨¢s larga mide 28 cm y tarda en consumirse 7 horas, mientras que m¨¢s corta, que es m¨¢s gruesa, tarda en consumirse 11 horas. Las encendemos las dos a la vez cuando empieza la fiesta y al cabo de 3 horas, cuando se van los amigos, las apagamos. En ese momento tienen las dos la misma altura. ?Qu¨¦ altura ten¨ªa la vela m¨¢s corta en origen?

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