Combinatoria del Set y sus variantes

Parece ser que el Set, el juego combinatorio de inspiraci¨®n gen¨¦tica que vimos la semana pasada, ha despertado el inter¨¦s de mis sagaces lectoras/es, por lo que no est¨¢ de m¨¢s volver sobre ¨¦l.

Es f¨¢cil ver que el juego ha de constar de 81 cartas diferentes, puesto que todas poseen 4 caracter¨ªsticas (forma, fondo, color y n¨²mero), con 3 posibilidades distintas para cada una de ellas (¨®valo, onda o rombo; s¨®lido, rayado o sin fondo; rojo, morado o verde; una, dos o tres figuras); por lo tanto, el n¨²mero de combinaciones posibles ser¨¢ 3x3x3x3 = 81.

?Y cu¨¢ntos sets distintos podemos formar con estas 81 cartas? No es dif¨ªcil ver que para cualquier pareja de cartas hay una y solo una carta que forma un set con ellas dos, pues, para cada una de las 4 caracter¨ªsticas, su relaci¨®n en las dos primeras cartas determina un¨ªvocamente c¨®mo ha de ser dicha caracter¨ªstica en la tercera: si las dos primeras cartas son rombos, tambi¨¦n ha de serlo la tercera; si una es roja y la otra verde, la tercera ha de ser morada¡­ Por lo tanto, el n¨²mero de sets ser¨¢ el de parejas distintas dividido por 3 (ya que los sets ab+c, ac+b y bc+a son el mismo, siendo a, b y c tres cartas cualesquiera), o sea, 81x80/6 = 1080.

El juego comienza colocando 12 cartas boca arriba sobre la mesa, y el primer jugador que ve un grupo de 3 que forman un conjunto acorde con las reglas dice ¡°set¡± y se las lleva, y se ponen 3 cartas m¨¢s sobre la mesa. Si ning¨²n jugador ve la posibilidad de hacer un set a partir de las 12 cartas, se ponen sobre la mesa 3 m¨¢s. Pero es poco probable que eso ocurra, y muy poco probable que siga ocurriendo con 15. Concretamente, la probabilidad de que entre 12 cartas no haya ning¨²n set es del 3,23 %, y la probabilidad de que, tras poner 3 cartas m¨¢s sobre la mesa, siga sin haber ning¨²n set entre las 15 es del 1,14 % (que yo sepa, no hay una f¨®rmula sencilla que d¨¦ estos resultados, hallados mediante programas inform¨¢ticos ad hoc).

Tras lo cual, someto a la consideraci¨®n de mis sagaces lectoras/es otras interesantes cuestiones combinatorias relacionadas con este juego:

1. ?Cu¨¢l es la probabilidad de que 3 cartas sacadas al azar forman un set?

2. ?Con cu¨¢ntos conjuntos distintos de 12 cartas puede comenzar una partida?

3. ?Cu¨¢ntos sets habr¨¢, por t¨¦rmino medio, en un grupo de 12 cartas?

4. ?Cu¨¢l es el m¨¢ximo n¨²mero de cartas que puede haber sobre la mesa sin que entre ellas haya set alguno? (En este caso no pido una demostraci¨®n rigurosa, sino una estimaci¨®n ¡°fermiana¡±).

Set generalizado

La creadora del Set, la genetista Marsha J. Falco, tambi¨¦n comercializ¨® una versi¨®n simplificada del juego en la que en vez de 4 caracter¨ªsticas solo se contemplan 3: forma, color y n¨²mero de figuras, con lo que el n¨²mero de cartas desciende de 81 a 27 (3x3x3). ?Cu¨¢l es, en este caso, la probabilidad de que 3 cartas sacadas al azar formen un set?

Pero a los matem¨¢ticos les gusta complicar las cosas (lo llaman ¡°generalizar¡±), y han estudiado la combinatoria de hipot¨¦ticos juegos con n caracter¨ªsticas y, por tanto, 3? cartas. Entre otras cosas, se han planteado la generalizaci¨®n de la cuarta cuesti¨®n antes planteada: ?Cu¨¢l es el mayor n¨²mero de cartas que se pueden poner sobre la mesa, en un juego generalizado de n caracter¨ªsticas, sin que entre ellas haya set alguno?

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