La elipse de Steiner

Como vimos la semana pasada, el ¡°problema de las colegialas¡± admite 7 soluciones no isomorfas (es decir, con distinta estructura), enumeradas en 1922 por el matem¨¢tico estadounidense Frank Nelson Cole (1861-1926), que se hizo famoso a principios del siglo XX por hallar los factores del 67? n¨²mero de Mersenne (2??¨C 1). ?douard Lucas hab¨ªa demostrado que M?? no era primo, pero no hab¨ªa podido descomponerlo en factores. Y Cole realiz¨® la proeza de hallar esos factores cuando papel y l¨¢piz eran la ¨²nica calculadora disponible (dedic¨¢ndole al problema, seg¨²n confes¨®, todos los domingos durante tres a?os):

M?? = 147.573.952.589.676.412.927 = 193.707.721 ¡Á 761.838.257.287

Y tambi¨¦n calcul¨® Cole (una bagatela comparado con el c¨¢lculo anterior) el n¨²mero total de soluciones -incluidas las isomorfas- del problema de las colegialas:

15! x 13/42 = 404.756.352.000 (?c¨®mo se obtiene este n¨²mero?).

Circunelipse e inelipse

Adem¨¢s de sus importantes contribuciones a la teor¨ªa de dise?os combinatorios, como vimos la semana pasada, el matem¨¢tico suizo Jakob Steiner (de cuyos ¡°¨¢rboles m¨ªnimos¡± -los bons¨¢i de los grafos- nos ocupamos hace cinco a?os) fue uno de los m¨¢s grandes ge¨®metras de todos los tiempos; el m¨¢s grande despu¨¦s de Apolonio de Perga, seg¨²n algunos. Detestaba la geometr¨ªa anal¨ªtica, que seg¨²n ¨¦l contaminaba la geometr¨ªa ¡°pura¡±, y sus trabajos se basan exclusivamente en los m¨¦todos de la geometr¨ªa sint¨¦tica y proyectiva, a cuyo desarrollo contribuy¨® notablemente.

La referencia a Apolonio al hablar de Steiner es especialmente pertinente, pues, al igual que el Gran Ge¨®metra, hizo importantes aportaciones al estudio de las c¨®nicas. En este campo, Steiner es conocido sobre todo por sus elipses circunscrita e inscrita en un tri¨¢ngulo.

La circunelipse de Steiner es la ¨²nica elipse que pasa por los tres v¨¦rtices de un tri¨¢ngulo y cuyo centro es el baricentro o centroide del mismo (recordemos que el centroide de un tri¨¢ngulo es el punto de intersecci¨®n de sus medianas, que coincide con su centro de gravedad si lo consideramos un objeto f¨ªsico).

Puede que alguien piense que una circunferencia tambi¨¦n es una elipse y que, por tanto, la circunferencia circunscrita a un tri¨¢ngulo tambi¨¦n ser¨ªa una circunelipse de Steiner. Pero no es as¨ª, pues el centro de la circunferencia circunscrita (circuncentro) es el punto de intersecci¨®n de las mediatrices del tri¨¢ngulo, no de sus medianas (la raz¨®n es evidente: todos los puntos de la mediatriz de cada lado equidistan de los dos v¨¦rtices correspondientes a ese lado, por lo que el punto de intersecci¨®n de las mediatrices equidista de los tres v¨¦rtices).

Entre otras propiedades, la circunelipse de Steiner es, de todas las elipses circunscritas a un tri¨¢ngulo, la de menor ¨¢rea (?puedes calcularla en funci¨®n del ¨¢rea del tri¨¢ngulo?).

Cuando se habla de la elipse de Steiner sin especificar nada m¨¢s, se est¨¢ aludiendo a su circunelipse, que no hay que confundir con la inelipse. La inelipse de Steiner es la elipse inscrita en un tri¨¢ngulo que es tangente a los puntos medios de sus lados (y est¨¢ justificado decir ¡°la¡± porque es ¨²nica). La superficie de la inelipse de Steiner es la cuarta parte de la de la circunelipse de Steiner (?puedes demostrarlo?).

Sugiero a mis sagaces lectoras/es que empiecen por analizar el caso particular y mucho m¨¢s sencillo de la circunelipse y la inelipse de un tri¨¢ngulo equil¨¢tero.

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