La f¨ªsica que ilumina el billar a tres bandas

Como comentamos la semana , la probabilidad de que al dirigir el haz de una linterna a una pared se forme sobre ella el consabido c¨ªrculo de luz es, parad¨®jicamente, nula. En efecto, para que la mancha de luz sea un c¨ªrculo perfecto, el eje de la linterna (o sea, de su cono de luz) ha de ser perpendicular al plano, y puesto que sus posibles ¨¢ngulos de incidencia son infinitos, la probabilidad de que dicho ¨¢ngulo sea exactamente de 90¡ã es cero.

Podemos tener la certeza de que la mancha de luz de la linterna ser¨¢ una elipse; aunque no la certeza matem¨¢tica, pues si la linterna se inclina lo suficiente como para que una generatriz de su cono de luz sea paralela a la pared (ver ilustraci¨®n de la entrega anterior), se formar¨¢ una par¨¢bola. Eso significa que si la apertura del haz luminoso es de unos 30¡ã, habr¨¢ que inclinar la linterna unos 75¡ã respecto a la perpendicular para que la elipse se abra y se convierta en par¨¢bola.

Pasando de la huella blanca de la linterna a la huella negra del ojo de halc¨®n, se impone una consideraci¨®n pragm¨¢tica previa: si la huella no se correspondiera exactamente con la zona de contacto de la pelota con la pista, no tendr¨ªa validez arbitral, pues a menudo la diferencia entre el in y el out es cuesti¨®n de mil¨ªmetros. ?C¨®mo genera el ojo de halc¨®n la imagen de impacto a partir de la informaci¨®n sobre la velocidad y la trayectoria de la pelota suministrada por diez c¨¢maras estrat¨¦gicamente situadas? No he tenido ocasi¨®n de estudiar el asunto a fondo, pero podr¨ªa ser un asunto interesante para futuras entregas.

Si la pelota de tenis atravesara limpiamente y sin resistencia el plano de la pista, formar¨ªa un agujero el¨ªptico cuyo eje menor ser¨ªa igual al di¨¢metro de la bola y cuyo eje mayor ser¨ªa tanto m¨¢s largo cuanto m¨¢s oblicua fuera la trayectoria de impacto. A no ser que incidiera verticalmente, en cuyo caso el agujero ser¨ªa un c¨ªrculo de di¨¢metro igual al de la bola. Por simetr¨ªa especular, cabe imaginar que un choque perfectamente el¨¢stico producir¨ªa la misma huella que una perforaci¨®n ideal del plano. Pero el choque de una pelota de tenis real no es perfectamente el¨¢stico, por no hablar del efecto (Magnus), por lo que tal vez la perfecta elipse negra del ojo de halc¨®n no sea tan exacta, lo que, en alg¨²n caso l¨ªmite, podr¨ªa haber dado lugar a alguna injusticia arbitral.

?Carambola!: del tenis al billar

Una analog¨ªa en el mundo real nos lleva de la cancha de tenis al sal¨®n de billar. Cuando una bola de billar (sin efecto) contra una banda de la mesa, que se refleja igual que un rayo de luz en un espejo plano, por lo que es inevitable recordar el consabido problema billar¨ªstico cl¨¢sico: ?en qu¨¦ punto de la banda inferior ha de incidir la bola A para golpear de lleno a la bola B? ?Y si antes de alcanzar la bola B, la A ha de tocar dos bandas, la inferior y la de la derecha? M¨¢s dif¨ªcil todav¨ªa: ?cu¨¢l es el camino m¨¢s corto por el que la bola A puede chocar con la B tras tocar tres de las bandas?

Si en vez de una mesa de billar normal (rectangular) las bolas estuvieran en una mesa circular, tendr¨ªamos un versi¨®n billar¨ªstica del conocido problema del espejo circular de Alhac¨¦n, el gran matem¨¢tico, f¨ªsico y astr¨®nomo ¨¢rabe del siglo XI, famoso por sus trabajos de cat¨®ptrica (¨®ptica de los espejos) y considerado uno de los principales precursores del m¨¦todo cient¨ªfico. Pero ese es otro art¨ªculo.

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