?En qu¨¦ momento de su vaciado ser¨¢ m¨¢s estable una lata de cerveza?

La probabilidad de que una persona concreta celebre su cumplea?os la misma semana que t¨² es, obviamente, 1/52 (si entendemos por ¡°la misma semana¡± el mismo intervalo de lunes a domingo; si hablamos de cumplea?os no separados por m¨¢s de siete d¨ªas la probabilidad es pr¨¢cticamente el doble). Pero que dos personas, cualesquiera de un grupo de siete cumplan a?os la misma semana, como se plante¨® en la entrega anterior, es mucho mayor, en contra de lo que sugiere la intuici¨®n. Y mayor a¨²n es la probabilidad de que dos de ellas compartan sigo zodiacal.

Como en otros problemas de este tipo, es m¨¢s f¨¢cil calcular la probabilidad de que algo no ocurra para determinar su probabilidad complementaria. Centr¨¦monos en el caso zodiacal, de id¨¦ntico planteamiento que el semanal, pero con n¨²meros m¨¢s manejables. Empecemos por numerar arbitrariamente a las personas del 1 al 7. La probabilidad de que la 2 no sea del mismo signo que la 1 es 11/12; la probabilidad de que la 3 no sea del mismo signo que la 1 ni la 2 es 10/12¡­, y la probabilidad de que la 7 no sea del mismo signo que ninguna de las otras 6 es 6/12. Por lo tanto, la probabilidad de que ninguna de esas coincidencias ocurra ser¨¢:

11/12 x 10/12 x 9/12 x 8/12 x 7/12 x 6/12 = 0,11 aprox.

As¨ª pues, la probabilidad de que s¨ª que haya al menos dos personas del mismo signo ser¨¢ la complementaria, o sea, de casi el 90%. La pr¨®xima vez que, en una peque?a reuni¨®n, dos personas magufas vean una se?al del destino en la extraordinaria coincidencia de compartir signo zodiacal, puedes fastidiarlas con el inapelable veredicto de las matem¨¢ticas (o no).

Por el mismo procedimiento, aunque con operaciones algo m¨¢s engorrosas, puedes comprobar que la probabilidad de que en un grupo de 23 personas haya al menos dos que celebren su cumplea?os el mismo d¨ªa es ligeramente superior al 50% (es la conocida como ¡°paradoja del cumplea?os¡± por su resultado contraintuitivo).

Tambi¨¦n en el caso de las cartas que vamos nombrando al ponerlas sobre la mesa, es m¨¢s f¨¢cil calcular la probabilidad de que ninguna coincida con su invocaci¨®n, pues para cada una esa probabilidad es 39/40. Por lo tanto, la probabilidad de que ninguna carta coincida con su nombre ser¨¢ de 39/40 a la potencia 40, aproximadamente 0,363. En consecuencia, la probabilidad de que al menos una carta aparezca al nombrarla es 1 ¨C 0,363 = 0,637 aproximadamente. Dos de cada tres veces que lo intentes, al menos una de las cartas aparecer¨¢ ¡°m¨¢gicamente¡± al decir su nombre.

Un tri¨¢ngulo is¨®sceles y una lata de cerveza

La intuici¨®n no solo puede enga?arnos haciendo que lo probable parezca improbable, sino tambi¨¦n al estimar el nivel de dificultad de un problema. Veamos un par de ejemplos (que aparentemente ¡ªsolo aparentemente¨D no tienen nada que ver el uno con el otro):

1. Dado un tri¨¢ngulo is¨®sceles cuyos lados iguales miden 10 cm, ?cu¨¢nto ha de medir el tercer lado para que su ¨¢rea sea m¨¢xima? Parece un t¨ªpico problema de m¨¢ximos y m¨ªnimos que se resuelve expresando el ¨¢rea del tri¨¢ngulo en funci¨®n del tercer lado y derivando la funci¨®n. Y lo parece porque lo es; pero, con un poco de ingenio, se puede resolver sin recurrir al c¨¢lculo diferencial.

1. En una lata de cerveza llena, si la consideramos perfectamente cil¨ªndrica y homog¨¦nea, el centro de gravedad es el punto medio del eje del cilindro. A medida que se va vaciando, el centro de gravedad va bajando y el equilibrio de la lata sobre su base se vuelve, por tanto, m¨¢s estable (como para compensar la presumible p¨¦rdida de estabilidad del consumidor de su contenido). Pero, una vez vac¨ªa del todo, el centro de gravedad de la lata vuelve a estar en el punto medio de su eje, por lo que ha de haber un momento del vaciado en el que dicho centro llega a su punto m¨¢s bajo, momento a partir del cual vuelve a subir. Si la lata mide 20 cm de altura, pesa 45 g cuando est¨¢ vac¨ªa y cuando est¨¢ llena contiene 360 g de cerveza, ?cu¨¢nta cerveza hay en la lata en el momento en que el centro de gravedad est¨¢ a menor altura?

De nuevo perece un problema a resolver echando mano del c¨¢lculo diferencial, y as¨ª lo resolvi¨® Walter B. Roberts, de la Universidad de Princeton, al plante¨¢rselo durante una merienda campestre; pero luego (y, es de suponer, una vez disipados los vapores del contenido de la lata) se dio cuenta de que se pod¨ªa resolver f¨¢cilmente sin funciones ni derivadas.

Los dos problemas anteriores no parecen tener relaci¨®n alguna; sin embargo (y esta es una buena pista para el segundo, m¨¢s dif¨ªcil que el primero) los dos requieren un mismo cambio de perspectiva para su resoluci¨®n. Literalmente, se trata de contemplarlos desde distinto ¨¢ngulo.

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