El punto de Torricelli

La gran importancia, entre los babilonios, de los n¨²meros regulares, de los que nos ocup¨¢bamos la semana pasada por serlo tanto el 500 como el 2025, se debe a que 2, 3 y 5 son los factores primos de 60, que era la base de la numeraci¨®n mesopot¨¢mica.

?Y por qu¨¦, hace unos cuatro mil a?os, los primeros matem¨¢ticos escogieron como base el 60 en lugar del 10? Puesto que tenemos 10 dedos, parece que esa deber¨ªa ser la primera opci¨®n. Y, de hecho, lo fue, pues la numeraci¨®n mesopot¨¢mica es mixta: las unidades se agrupan en decenas, pero las decenas, en vez de agruparse en centenas, se agrupan en sesentenas, porque el 60, debido a su factorizaci¨®n (22 x 3 x 5), es divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30, y es el menor n¨²mero divisible por todos los enteros del 1 al 6, lo que lo hace muy adecuado para las particiones propias de las operaciones comerciales. Por an¨¢logas razones se sigue utilizando la docena, m¨¢s repartible que la decena, ya que 12 es divisible por 1, 2, 3, 4 y 6, mientras que 10 solo lo es por 1, 2 y 5. Y tambi¨¦n seguimos usando la numeraci¨®n sexagesimal en la medici¨®n del tiempo y de los ¨¢ngulos.

Con respecto a la singular condici¨®n de cuadrado perfecto del a?o en el que acabamos de entrar (2025 = 452), se?ala Ignacio Alonso:

¡°Curioso que este sea posiblemente ? el ¨²nico a?o cuadrado perfecto en las vidas de los nacidos despu¨¦s de 1936. El 2048 (2^11) es la ¨²nica potencia perfecta pr¨®xima que nos queda seuo, salvo las unitarias, claro¡±.

El icono jocoso es de suponer que hay que interpretarlo en el sentido de que es poco probable que lleguemos a 2116 (462). De ser as¨ª, nuestro asiduo comentarista IA (ojo a las iniciales) no es muy optimista, pues solo faltan 91 a?os para el pr¨®ximo cuadrado perfecto.

Y en cuanto a la divisi¨®n ¨®ptima del queso de Camembert en tres partes, dice Susana Luu:

¡°Sobre la divisi¨®n del disco en partes iguales, no aspiro a entender por qu¨¦ esa configuraci¨®n en el caso n = 4 es la mejor, pero s¨ª me gustar¨ªa entender al menos el caso n = 3. El art¨ªculo dice que la soluci¨®n para n = 3 es trivial, pero yo no entiendo el motivo por el que esa divisi¨®n radial es la mejor (en los comentarios de la semana pasada ya coment¨¦ que no me parec¨ªa obvio c¨®mo excluir otras posibles divisiones del caso n = 3 salvo calcular los per¨ªmetros de cada una)¡±.

Como le contest¨¦ a Susana la semana pasada, la soluci¨®n para el caso n = 3 tiene que ver con el punto de Fermat (seg¨²n los franceses) o de Torricelli (seg¨²n los italianos); pero a m¨ª tampoco me parece tan obvio que no haya otras soluciones para n = 3. ?Alguien se anima a demostrarlo?

C¨®mo minimizar la suma de distancias

El punto de Torricelli (soy italiano) de un tri¨¢ngulo es aquel para el cual la suma de sus distancias a los v¨¦rtices del tri¨¢ngulo es m¨ªnima. El problema de su determinaci¨®n le fue planteado, a mediados del siglo XVII, por Pierre de Fermat a Evangelista Torricelli, que lo resolvi¨®, de ah¨ª que ambos den nombre al punto en cuesti¨®n.

En el caso de un tri¨¢ngulo acut¨¢ngulo, el punto de Torricelli es obviamente interior al mismo; pero ?ser¨¢ siempre as¨ª? ?En qu¨¦ caso, si lo hubiere, ser¨¢ exterior al tri¨¢ngulo?

Y para subir nota: ?Puedes hallar una construcci¨®n geom¨¦trica sencilla para determinar el punto de Torricelli de un tri¨¢ngulo?

El punto de Fermat-Torricelli (seamos internacionalistas) es la soluci¨®n, para tres puntos, de la mediana geom¨¦trica y del ¨¢rbol de Steiner. Pero ese es otro art¨ªculo.