Un monstruo probabil¨ªstico

Con respecto al problema de las cuentas de los collares conc¨¦ntricos, que hab¨ªa quedado pendiente, este es el comentario de Manuel Amor¨®s:

¡°Creo que solo pueden ser soluci¨®n los impares. Para verlo podemos tomar n¨²meros naturales en lugar de colores. La condici¨®n necesaria es que cada n¨²mero est¨¦ separado de su hom¨®nimo una cantidad, y estas cantidades deben ser diferentes. Por tanto, deber¨ªamos tener una expresi¨®n del tipo:

1 + 0 = 1

2 + a = b

¡­

n + t = p

En la segunda columna no puede aparecer n, con lo cual y teniendo en cuenta que la segunda columna recorre 0,1¡­ n-1 y la tercera recorre 1, 2¡­ n, podemos sumar obteniendo (n+1, 2) + (n, 2) congruente (n+1, 2) (m¨®dulo n). Luego la condici¨®n necesaria es que (n, 2) sea m¨²ltiplo de n. Eso solo puede ocurrir si n es impar.

Por otro lado, es condici¨®n suficiente. Podemos situar los n¨²meros hom¨®nimos a una unidad menos de distancia que dicho n¨²mero. Por ejemplo, para n =5:

1 + 0 = 1

2 + 1 = 3

3 + 2 = 5

4 + 3 = 2

5 + 4 = 4¡å.

Pero el problema ha suscitado otras interesantes reflexiones (cf. comentarios de El jugo de la minor¨ªa), y es de los que se prestan a seguir indagando.

El simbionte de Schr?dinger

Por otra parte, un comentario de Salva Fuster da pie a plantear el ¡°metaproblema¡± del simbionte:

¡°El problema del simbionte me suena de haberlo tratado hace ya bastante tiempo. Si no recuerdo mal, una cuesti¨®n que se plante¨® fue la de la conservaci¨®n de la masa. Las subdivisiones podr¨ªan llegar a no ser posibles si la capacidad de divisi¨®n de la materia tuviera un l¨ªmite inferior¡±.

A m¨ª tambi¨¦n me suena, pero, al no figurar en el t¨ªtulo el asunto del monstruo estoc¨¢stico, no lo localizo (puede que a alguien le sorprenda que no controle todas las entregas de El juego de la ciencia, pero es que esta es la n¨²mero 495). Sin duda un(a) diligente lector(a) dar¨¢ con el art¨ªculo en cuesti¨®n y podremos volver sobre el tema. O, mejor a¨²n, podemos consultar la Introducci¨®n a la teor¨ªa de probabilidades, de William Feller, como sugiere Francisco Montesinos:

¡°Para saber si el proceso acaba en una poblaci¨®n N = 0 o bien se desarrolla sin l¨ªmite, hay que fijarse m¨¢s bien en si E (n¨²mero esperado de descendientes directos) es <= 1, en cuyo caso acaba muriendo, o bien E > 1 en cuyo caso se desarrolla sin l¨ªmite. En el caso planteado, al ser E > 1 no morir¨¢ nunca. Ver Feller, p¨¢g. 301 y siguientes¡±.

Esta opini¨®n contrasta con la de otros lectores, que consideran que el simbionte morir¨¢ con seguridad. ?En qu¨¦ quedamos? ?Ser¨¢ el monstruo de Schr?dinger, vivo y muerto a la vez hasta que no abramos la c¨¢mara acorazada en la que est¨¢ encerrado?

Redes parad¨®jicas

Con respecto a la paradoja de Braess, Fuster comenta:

¡°Otro caso de la paradoja de Braess se podr¨ªa dar en redes de conmutaci¨®n de paquetes, en las que habilitar nuevas rutas entre nodos de la red podr¨ªa provocar tiempos de env¨ªo mayores de los mensajes, aunque creo que es un caso muy parecido al de las carreteras¡±. A lo que otra lectora a?ade: ¡°En efecto, de forma general la paradoja se observa en el flujo en redes. British Telecom sufri¨® en 1990 una verdadera cat¨¢strofe en el comportamiento de la red¡±.

Y una vez m¨¢s mis amables lectoras/es han llenado la secci¨®n. Solo me queda plantear un problema relacionado con alguno de los temas tratados recientemente. Como el siguiente, planteado en su d¨ªa por Josep Mar¨ªa Albaig¨¨s en su excelente revista Carrollia:

Supongamos una superficie de baldosas cuadradas de un metro de lado, sobre ella dibujamos un pol¨ªgono tan caprichoso como nos apetezca (ver la figura) formado por l¨ªneas rectas que unen exclusivamente v¨¦rtices de las baldosas. Llamaremos N al n¨²mero de los v¨¦rtices que est¨¦n sobre la l¨ªnea perimetral y B al n¨²mero de v¨¦rtices interiores al pol¨ªgono. Se trata de encontrar una f¨®rmula que, en funci¨®n de N y B, proporcione el valor de la superficie del pol¨ªgono.