Las urnas de Cellini

El ¨²ltimo problema de las urnas de Porcia, planteado la semana pasada, ha dado lugar a interesantes reflexiones de nuestros/as sagaces comentaristas sobre la autorreferencia, la decidibilidad y otras sutilezas de la l¨®gica (ver comentarios correspondientes); pero, en realidad, la explicaci¨®n del error de nuestro confuso pretendiente es m¨¢s simple (o m¨¢s compleja, seg¨²n se mire).

En la primera prueba, Porcia informa al pretendiente de que al menos una de las afirmaciones de los letreros es verdadera y al menos una es falsa; pero en la segunda prueba solo le dice que en una de las urnas est¨¢ su retrato. No le da ninguna informaci¨®n sobre la verdad o falsedad de las afirmaciones que aparecen en los letreros, por lo que podr¨ªa poner en ellos cualquier cosa y el retrato estar en cualquiera de las dos urnas, pues el ¨²nico requisito, para que el enunciado sea correcto, es que el retrato est¨¦ en una de ellas. Como ¨²ltimo y definitivo reto, la sutil ¡ªy un tanto maliciosa¡ª Porcia somete a su pretendiente a una ¡°metaprueba¡± que consiste en valorar adecuadamente las condiciones de la prueba (en su descargo hay que decir que, seg¨²n cuentan las cr¨®nicas, acab¨® concedi¨¦ndole su mano a su perplejo pretendiente).

En cuanto al problema de la cuenta de collar, Manuel Amor¨®s propone acudir a lo que podr¨ªamos denominar ¡°l¨®gica perezosa¡±:

¡°Razonamiento holgaz¨¢n para la cuesti¨®n de la bola horadada. Si el enunciado es correcto, el volumen resultante deber¨ªa ser independiente del grosor del agujero. Si hacemos tender dicho grosor a cero como caso l¨ªmite, tendr¨ªamos que el volumen corresponder¨ªa a una esfera compacta de 6 mil¨ªmetros de di¨¢metro¡±.

Y as¨ª es en efecto: el ¡°razonamiento holgaz¨¢n¡± (a la vez que confiado, pues da por hecho que el enunciado es fiable y, por tanto, quien lo plantea no se ha olvidado de dar ning¨²n dato), conduce a la soluci¨®n correcta, pues, por muy contra intuitivo que resulte, el volumen de la esfera horadada no depende del di¨¢metro del orificio cil¨ªndrico, sino solo de su longitud.

Cellini y Bellini

Para no despedirnos de Porcia con un problema en cierto modo tramposo, veamos a continuaci¨®n otro que cumple el requisito de informarnos sobre los valores de verdad o falsedad de los enunciados, y que adem¨¢s introduce una interesante variable adicional.

Algunas de las urnas de Porcia son obra de Cellini, el m¨¢s prestigioso orfebre del Renacimiento, adem¨¢s de afamado escultor, y otras han sido hechas por un imitador, un tal Bellini, que intenta hacerlas pasar por aut¨¦nticas. Las inscripciones de las urnas de Cellini son siempre verdaderas, mientras que las inscripciones de las urnas de Bellini son siempre tan falsas como ellas mismas.

Una de las pruebas m¨¢s complicadas a las que Porcia someti¨® a sus pretendientes es la siguiente:

Hay tres urnas, una de oro, otra de plata y otra de plomo, hechas por Cellini o por Bellini, y en una de ellas est¨¢ el retrato de Porcia. En la urna de oro pone: ¡°El retrato est¨¢ aqu¨ª¡±. En la urna de plata pone: ¡°El retrato est¨¢ aqu¨ª¡±. En la urna de plomo pone: ¡°Por lo menos dos de estas tres urnas son obra de Bellini¡±.

Y en este caso el pretendiente ¡ªy t¨² con ¨¦l, sagaz lector(a)¡ª no solo tiene que deducir d¨®nde est¨¢ el retrato, sino que adem¨¢s ha de determinar qui¨¦n es el autor de cada urna.