Un siglo para resolver 23 problemas

Par¨ªs, 1900. Los m¨¢s eminentes matem¨¢ticos de todo el mundo celebran el II Congreso Internacional de su disciplina en un ambiente de optimismo, cuando no de franca satisfacci¨®n. En la mente de muchos de ellos se encuentra la idea, tantas veces repetida en la historia de otras ¨¢reas de la ciencia, de que el edificio de las matem¨¢ticas est¨¢ pr¨¢cticamente terminado y apenas queda para completarlo realizar algunos retoques y tapar huecos.La idea queda en entredicho cuando el matem¨¢tico m¨¢s prestigioso del mundo por aquel entonces (junto al franc¨¦s Henri Poincar¨¦), el alem¨¢n David Hilbert (K?nigsberg, 1862; G?ttingen, 1943), toma la palabra. "Estamos convencidos de que todo problema matem¨¢tico es soluble. Definamos cada uno de ellos y encontremos la soluci¨®n", les dice antes de exponer los 23 problemas o temas que deb¨ªan ser objeto de investigaci¨®n y resoluci¨®n durante el siglo entonces naciente.

Pese a su optimismo introductorio, el enunciado de las cuestiones, demasiado complicado para los profanos, sugiere una serie de vac¨ªos de enorme calado que invalidan la idea de un edificio a punto de concluirse. La propuesta de Hilbert era considerada por aquel entonces como un ambicioso programa de trabajo para toda la centuria y de hecho, al decir de muchos matem¨¢ticos, ha orientado el desarrollo de la disciplina durante mucho tiempo.

Tal fue la opini¨®n, entre otros, por los eminentes matem¨¢ticos espa?oles Julio Rey Pastor y Jos¨¦ Babini, que en su Historia de la Matem¨¢tica, aseguran: "En gran medida la matem¨¢tica del siglo actual ha surgido del estudio de esos problemas en su mayor parte resueltos pero, lo que es m¨¢s importante, dejando tras de s¨ª nuevos problemas".

La mayor parte de los matem¨¢ticos actuales son m¨¢s cr¨ªticos y subrayan que a lo largo del siglo han surgido ¨¢reas de investigaci¨®n consideradas ahora trascendentales y que Hilbert ni atisb¨®.

La suerte corrida por los famosos 23 problemas ha sido muy dispar. Algunos de ellos est¨¢n considerados actualmente como mal planteados, demasiado vagos o carentes de sentido. Es el caso del cuarto problema, que pretend¨ªa buscar la demostraci¨®n de que la l¨ªnea recta es la conexi¨®n m¨¢s corta entre dos puntos, que s¨®lo tiene sentido en la geometr¨ªa euclidiana. Esta concepci¨®n cl¨¢sica del espacio fue desbordada por otras posibles geometr¨ªas surgidas ya en el siglo XIX y que dieron lugar, entre otras cosas, a la Teor¨ªa de la Relatividad de Einstein.

Otro ejemplo es la pretensi¨®n del problema sexto de establecer los axiomas de la f¨ªsica, considerada hoy como un sinsentido, entre otras cosas por la indeterminaci¨®n impl¨ªcita en la mec¨¢nica cu¨¢ntica, la explicaci¨®n de la realidad a escala at¨®mica.

Los primeros frutos del programa de Hilbert se obtuvieron en el mismo a?o 1900, cuando se resolvi¨® el problema tercero sobre la posibilidad de descomponer un poliedro en trozos que pudieran formar otro poliedro. Muchos otros problemas han ido resolvi¨¦ndose a lo largo del siglo, algunos mediante la demostraci¨®n de su invalidez o su imposibilidad. Quiz¨¢s el m¨¢s famoso de ellos es el de la b¨²squeda de una base absolutamente consistente para la Aritm¨¦tica (que constituye la esencia del problema segundo) que Kurt G?del ech¨® por tierra con su teorema de incompletud, al afirmar que no hay ning¨²n medio de demostrar todas las verdades y axiomas de las matem¨¢ticas.

Tambi¨¦n se encontraban entre las propuestas de Hilbert algunos problemas que han sido campo fruct¨ªfero de trabajo para los matem¨¢ticos del siglo, como el problema decimosexto, sobre topolog¨ªa de curvas y superficies, o el que cerraba la lista, sobre la extensi¨®n del c¨¢lculo de variaciones, al que dedic¨® en su discurso m¨¢s espacio que a los 22 problemas precedentes.

Pese a la visi¨®n cr¨ªtica que desde la actualidad se puede hacer del programa de Hilbert, la Uni¨®n Matem¨¢tica Internacional decidi¨® en 1992 celebrar el centenario del famoso discurso de Par¨ªs declarando el 2000 como el A?o Internacional de las Matem¨¢ticas; celebraci¨®n apoyada, entre otras organizaciones, por la Unesco. Entre la multitud de eventos que se han preparado para la ocasi¨®n se encuentra un congreso que se celebrar¨¢ en la Universidad de California de Los Angeles (UCLA) entre el 7 y el 12 de agosto, cuyo t¨ªtulo, Desaf¨ªos matem¨¢ticos del siglo XXI remeda obviamente la propuesta de Hilbert. Est¨¢ confirmada ya la presencia en este encuentro de la mayor parte de los matem¨¢ticos m¨¢s importantes de la actualidad.

La situaci¨®n, sin embargo, es muy diferente a la de hace un siglo. La especializaci¨®n dentro de las matem¨¢ticas se ha multiplicado y probablemente no hay en la actualidad una figura como la de Hilbert, quien trabaj¨® en muchos campos y destac¨® en varios de ellos. Seg¨²n expusieron en 1982 Philip J. Davies y Reuben Hersch en su libro divulgativo The mathematical experience (Experiencia matem¨¢tica. Ed. Labor, 1988), el n¨²mero de subespecialidades matem¨¢ticas supera el millar e incluso podr¨ªa acercarse, hilando fino, a 3.000 categor¨ªas. Seg¨²n sus c¨¢lculos, existen unas 1.600 revistas especializadas que en conjunto publican m¨¢s de 200.000 teoremas nuevos cada a?o (?m¨¢s de 500 diarios!), una cifra tan descomunal que impide no ya s¨®lo estar al d¨ªa en todos los campos de la matem¨¢tica sino incluso intentarlo dentro de una especialidad.

Eso explica que los congresos internacionales actuales parezcan en ocasiones una Torre de Babel, donde las exposiciones de los ponentes s¨®lo son inteligibles para un escaso n¨²mero de oyentes e inevitablemente los participantes acaban agrup¨¢ndose seg¨²n afinidades de especializaci¨®n. Este proceso de compartimentalizaci¨®n ser¨¢ una caracter¨ªstica en el siglo pr¨®ximo, aunque no cabe descartar que surja un nuevo Hilbert, capaz de dar trabajo a todos.