La conjetura de Poincar¨¦ en el Congreso de Madrid

En 1993, un joven matem¨¢tico ruso, Grisha Perelman, estaba revolucionando la Geometr¨ªa de Riemann. En 1994, desapareci¨®.

Hube de esperar a mayo de 2003 para volver a o¨ªr su nombre. Perelman afirmaba haber demostrado la conjetura de Poincar¨¦. Un mes despu¨¦s me encontr¨¦ en Lecce con un colega que conoc¨ªa a Perelman. Me cont¨® algunas an¨¦cdotas sobre su silencio durante ocho a?os. A una invitaci¨®n a un congreso respondi¨®: "No, ahora no quiero hablar con ning¨²n matem¨¢tico". En otra ocasi¨®n fue m¨¢s conciso: "No, gracias". Mi amigo lo admiraba tanto que (durante sus a?os de silencio) dec¨ªa: "O se ha vuelto loco o est¨¢ haciendo algo grande".

?Pero, qu¨¦ es la conjetura de Poincar¨¦? ?Por qu¨¦ es algo grande? ?Qu¨¦ tiene que ver con el Congreso Internacional de Matem¨¢ticos (ICM) 2006, que se celebrar¨¢ en Madrid del 22 al 30 de agosto?

Una conjetura matem¨¢tica es una afirmaci¨®n sin demostraci¨®n. Cuando se demuestra, pasa a ser un teorema.

Henri Poincar¨¦ es uno de los matem¨¢ticos nacidos en el siglo XIX que m¨¢s han influido en las Matem¨¢ticas del XX. Defin¨ªa la topolog¨ªa como la geometr¨ªa cualitativa: "Lo que queda a la geometr¨ªa cuando se olvida la noci¨®n de distancia". La topolog¨ªa considera iguales cosas que se obtienen una de otra deformando sin romper, pues lo ¨²nico que cambia al deformar es la distancia, de la que nos hemos olvidado. As¨ª, en topolog¨ªa se consideran iguales un bal¨®n de f¨²tbol, un bal¨®n de rugby y una naranja. Hay propiedades de la naturaleza (de part¨ªculas de la f¨ªsica, del ADN) que dependen s¨®lo de la topolog¨ªa.

En 1904 Poincar¨¦ plante¨® el siguiente problema: "Si un espacio cerrado de dimensi¨®n 3 tiene la propiedad de que toda curva cerrada se puede deformar a un punto, ?es una esfera?".

Aclaremos que un espacio cerrado es lo que en la literatura de ficci¨®n se llama finito pero sin l¨ªmites (la superficie de una naranja es, en dimensi¨®n 2, un ejemplo de este tipo de espacio), y que la dimensi¨®n 3 es, simplemente, la dimensi¨®n del espacio f¨ªsico en que vivimos. Nuestro espacio f¨ªsico es cerrado (salvo agujeros negros). Una esfera de dimensi¨®n 3 es algo como una esfera ordinaria (de dimensi¨®n 2), pero de una dimensi¨®n superior. Una curva cerrada viene perfectamente representada por una goma el¨¢stica de las que se usan para recoger el pelo.

Con el tiempo se fue haciendo general el convencimiento de que la respuesta a la pregunta de Poincar¨¦ es "s¨ª", convirti¨¦ndose de este modo en una conjetura. El esfuerzo por demostrarla dio lugar a un conocimiento m¨¢s profundo de los espacios de dimensi¨®n 3, hasta llegar a la conjetura de geometrizaci¨®n: "Todo espacio cerrado de dimensi¨®n 3 se puede obtener pegando entre s¨ª, de manera adecuada, espacios homog¨¦neos de dimensi¨®n 3", formulada a comienzos de los 80 por W. Thurston. En otras palabras, lo que esta conjetura afirma es que podemos dar la lista de todas las formas posibles del espacio f¨ªsico. Si se demuestra la conjetura de geometrizaci¨®n, la de Poincar¨¦ aparece como una consecuencia.

Pues bien, Perelman afirma haber demostrado la conjetura de geometrizaci¨®n. Usa una t¨¦cnica inventada por R. Hamilton a comienzos de los 80, cuya idea es muy natural: elijamos un espacio arbitrario de dimensi¨®n 3, miremos y veamos si es uno de los que nos dice la conjetura. El problema est¨¢ en nuestra capacidad para reconocer un espacio al verlo. Los modelos de la conjetura son bastante bonitos (se obtienen pegando espacios homog¨¦neos, en los que se ve el mismo paisaje desde todos sus puntos). Como en topolog¨ªa se consideran iguales espacios obtenidos por deformaci¨®n de otro, puede ocurrir que ¨¦sta sea tal que nos incapacite para reconocer el espacio. Hamilton dio un m¨¦todo de deformaci¨®n que consiste en seguir la soluci¨®n de una ecuaci¨®n de evoluci¨®n en derivadas parciales (flujo de Ricci), que va en el sentido de lo m¨¢s bello, de la homogeneizaci¨®n. Despu¨¦s de hacer trabajar a la ecuaci¨®n (al flujo) durante alg¨²n tiempo, hace falta acudir a otros teoremas para reconocer las formas que aparecen. Algunos de esos teoremas eran resultados obtenidos hac¨ªa a?os por el propio Perelman, pero se le adelantaron en la escritura los japoneses Shioya y Yamaguchi.

Perelman ha escrito tres art¨ªculos relacionados con la conjetura. El primero contiene todas las ideas nuevas. Todos est¨¢n de acuerdo en que ¨¦ste y las primeras secciones del segundo son correctas. El resto del segundo es t¨¦cnicamente m¨¢s dif¨ªcil, de modo que resulta arriesgado decir que uno ha comprobado absolutamente todos los detalles. Adem¨¢s, para acabar la demostraci¨®n de la conjetura de geometrizaci¨®n hace falta tambi¨¦n contrastar el art¨ªculo de los japoneses. Y, sobre esto, tampoco he o¨ªdo opiniones definitivas.

A diferencia de los anteriores, el tercer art¨ªculo lo ha entendido todo el mundo. Este art¨ªculo, junto con el primero y la parte m¨¢s comprensible del segundo, tambi¨¦n demuestra (solo) la conjetura de Poincar¨¦, sin necesidad de los resultados de los japoneses. Por ello, aunque sin pronunciamiento oficial, hay gran optimismo en que, al menos, la conjetura de Poincar¨¦ est¨¢ demostrada.

?Ser¨¢ el ICM 2006 el l¨ªmite para dar el veredicto sobre la validez de la demostraci¨®n de Perelman? Perelman ha sido invitado a dar una conferencia plenaria. Su respuesta a los organizadores del ICM 2006 ha sido m¨¢s escueta que el "no, gracias" que respondi¨® a mi amigo a?os antes. Simplemente, no ha contestado. ?En qu¨¦ conjetura andar¨¢ pensando ahora?

Al menos, R. Hamilton, el inventor de la t¨¦cnica usada por G. Perelman, si estar¨¢ en el ICM 2006, y un top¨®logo, J. Morgan, dar¨¢ una conferencia sobre la conjetura de geometrizaci¨®n y los trabajos de Perelman. Yo procurar¨¦ estar all¨ª para verlo.

Vicente Miquel Molina es catedr¨¢tico de Geometr¨ªa y Topolog¨ªa de la Universidad de Valencia.