La ley de Zipf

El ling¨¹ista norteamericano George Zipf, muerto en 1950, formul¨® la ley de Zipf para las frecuencias de las palabras en los textos en ingl¨¦s. La palabra m¨¢s com¨²n, the, aparece el doble de veces que la segunda, of, el triple que la tercera, el cu¨¢druple que la cuarta y as¨ª. Pero es aplicable a muchos otros fen¨®menos. El ¨²ltimo que han descubierto es el ajedrez: la jugada m¨¢s usada ocurre el doble de veces que la segunda m¨¢s usada, el triple que la tercera; en fin, la ley de Zipf.

El mundo tiene 6.800 millones de habitantes y 15.000 millones de p¨¢ginas web. La cuenta da m¨¢s de dos p¨¢ginas por terr¨ªcola, pero eso es una media que no dice gran cosa. La arquitectura de la Red, como los lenguajes y el ajedrez, obedece a una distribuci¨®n "libre de escala", la generalizaci¨®n actual de la ley de Zipf.

Si la p¨¢gina web m¨¢s conectada recibe dos millones de links, la segunda no recibe la mitad (un mill¨®n), como dir¨ªa Zipf, sino la cuarta parte (medio mill¨®n). En vez de ser inversamente proporcional a su posici¨®n en el ranking, lo es a su cuadrado. En otros tipos de red lo es al cubo, y en la mayor¨ªa de redes muestra un comportamiento intermedio.

Lo primero que tienen en com¨²n todas estas arquitecturas es su tremenda injusticia en el reparto de rangos. Unos pocos nodos acaparan casi todos los nexos; y casi todos los nodos se tienen que conformar con unos pocos nexos. En el caso de Internet, "unas pocas p¨¢ginas hiperconectadas son pr¨¢cticamente las que mantienen junta la red", como dice el f¨ªsico Albert-L¨¢szl¨® Barab¨¢si. El 80% de las p¨¢ginas web tiene menos de cuatro links, y s¨®lo una p¨¢gina de cada 10.000 tiene m¨¢s de mil links.

Estas redes se llaman "libres de escala" porque cada barrio perif¨¦rico, y cada suburbio ultraperif¨¦rico, tiene el mismo aspecto que la red en su conjunto. Los jefes de barrio tienen muchos menos links que los grandes centros globales, pero guardan la misma proporci¨®n con sus vecinos. A cualquier escala hay unos pocos nodos que acaparan la mayor¨ªa de las conexiones.

Las redes libres de escala son mundillos (small worlds), porque bastan unos pocos pasos para enlazar cualquier nodo con cualquier otro, por alejado que est¨¦. En una red de un mill¨®n de nodos, bastan seis pasos (el n¨²mero de ceros de un mill¨®n). En Internet, que tiene 15.000 millones de p¨¢ginas, bastan 10 pasos. La raz¨®n es que el enlace se orienta viajando a trav¨¦s de una jerarqu¨ªa de nodos.

?ste es el fundamento de uno de los n¨²meros favoritos de los humoristas: conectar a dos actores con seis pasos. Los actores de Hollywood, en efecto, son un mundillo en el sentido matem¨¢tico. Aqu¨ª los nodos son los actores, y los nexos consisten en compartir reparto en una pel¨ªcula. Por alguna raz¨®n, dos de los actores m¨¢s hiperconectados son Donald Pleasence y Rod Steiger, con miles de links. Steiger intervino en m¨¢s de 120 pel¨ªculas. Tambi¨¦n son mundillos la red el¨¦ctrica y la literatura cient¨ªfica, donde los nexos son las citas que recibe un art¨ªculo.

Una reflexi¨®n de Borges: "En el centro puntual de la mara?a / hay otro prisionero: Dios, la ara?a".