El monje budista y el teorema del punto fijo

EL PA?S y Materia propondr¨¢n a sus lectores, cada semana, un juego de l¨®gica. Los lectores pueden enviar sus soluciones en los comentarios, y plantear nuevos acertijos y juegos. La respuesta correcta ser¨¢ ofrecida en la columna de la semana siguiente.

?Pudo Dios, en el preludio del Diluvio Universal, azotar la faz de la Tierra con un viento ubicuo? No: la topolog¨ªa impone un l¨ªmite a la c¨®lera divina.

Tal vez esta declaraci¨®n parezca her¨¦tica, pero no lo es m¨¢s que decir que Dios no puede hacer un c¨ªrculo cuadrado, afirmaci¨®n que suscribir¨ªa el te¨®logo m¨¢s ortodoxo. Un viento omnipresente es un absurdo matem¨¢tico. Del mismo modo que no se puede peinar una esfera peluda con todo el pelo alisado, sin formar ning¨²n remolino, en todo momento ha de haber en la Tierra al menos un lugar donde el aire est¨¦ en calma. As¨ª lo exige el teorema del punto fijo, que no solo limita el poder de Dios sino el del propio Caos. Donde el orden parece totalmente abolido y el azar rey absoluto, la matem¨¢tica encuentra un ojo del hurac¨¢n, un punto fijo.

Tomemos un cuaderno ideal. La primera hoja yace sobre la segunda, borde con borde, v¨¦rtice con v¨¦rtice, de forma que cada punto de aquella est¨¢ encima de su punto hom¨®logo de esta. Arranquemos la primera hoja, hagamos con ella una bola informe y deposit¨¦mosla sobre la que ten¨ªa debajo. El teorema del punto fijo demuestra que siempre habr¨¢ al menos un punto de la hoja estrujada que seguir¨¢ estando exactamente encima -en la mism¨ªsima vertical- de su hom¨®logo de la hoja intacta.

Al pasar junto a un ¨¢rbol que le llam¨® la atenci¨®n, el monje deduce por su sombra que en el viaje de ida pas¨® por all¨ª a la misma hora

Vayamos de A a B y al d¨ªa siguiente, con el mismo horario de salida y llegada, volvamos de B a A por el mismo camino. Aunque las velocidades de ida y vuelta var¨ªen arbitrariamente y en ambos viajes hagamos paradas al azar, habr¨¢ un punto del camino por el que al volver pasaremos exactamente a la misma hora que al ir.

El teorema del punto fijo fue demostrado en 1912 por el matem¨¢tico holand¨¦s L. E. Brouwer; pero parece ser que en realidad lo descubri¨® mil a?os antes un an¨®nimo monje budista. Esta es la historia tal como me la contaron hace mucho tiempo en el monasterio de Shaolin:

Al amanecer, un monje sale de su monasterio y se dirige a un templo situado a una jornada de distancia. Su paso no es uniforme, y hace frecuentes paradas para contemplar el paisaje. Al anochecer llega al templo, donde pasa un par de d¨ªas meditando, y al alba del tercer d¨ªa emprende el viaje de regreso por el mismo camino. Al pasar junto a un ¨¢rbol que le llam¨® la atenci¨®n, deduce por su sombra que en el viaje de ida pas¨® por all¨ª a la misma hora. Al principio le parece una curiosa coincidencia, pero tras reflexionar sobre ello llega a la conclusi¨®n de que era inevitable que hubiese un punto del camino por el que pasara a la misma hora en el viaje de ida y en el de vuelta, pese a haberlos efectuado a velocidades variables y jalon¨¢ndolos con pausas arbitrarias.

El monje estaba lejos de poseer los conocimientos necesarios para expresar matem¨¢ticamente sus ideas, pero razon¨® de la siguiente manera¡­

?C¨®mo lleg¨® el monje a su conclusi¨®n?

Carlo Frabetti

Escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York, ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯