Extra?os utensilios

Nos pregunt¨¢bamos la semana pasada por el porcentaje de portadores del gen del albinismo, sabiendo que una de cada 10.000 personas es albina. Como el gen del albinismo es recesivo, para que nazca un albino tienen que juntarse un portador y una portadora, por lo que si llamamos 1/x a la fracci¨®n de personas portadoras, la fracci¨®n de parejas susceptibles de tener un hijo albino ser¨¢ 1/x²; pero solo uno de cada cuatro hijos de una de esas parejas ser¨¢ albino, pues para ello tienen que coincidir en el cigoto los dos genes del albinismo, puesto que son recesivos. Por lo tanto, la proporci¨®n de albinos ser¨¢ 1/4x². Y como 4x² = 10.000, x = 50. Una de cada 50 personas es portadora del gen del albinismo, o lo que es lo mismo, el 2 % de la poblaci¨®n.

En cuanto al tip¨®grafo que afirma haber utilizado exactamente 3.000 caracteres, no dice la verdad. Las 9 primeras p¨¢ginas necesitan 9 caracteres; las 90 siguientes (de la 10 a la 99), 2 cada una, o sea, 180; las 900 siguientes (de la 100 a la 999), tres cada una, o sea, 2.700. En total, las 999 primeras p¨¢ginas necesitan para su numeraci¨®n 2.889 caracteres. A partir de ah¨ª, cada p¨¢gina necesitar¨¢ 4 caracteres; pero 3.000 ¨C 2.889 = 111, que no es divisible por 4; por lo tanto, no es posible que el tip¨®grafo haya utilizado exactamente 3.000 caracteres.

La ecuaci¨®n exponencial x^x = y^y no implica necesariamente x = y; puede ser x = 1/2 e y = 1/4.

En el problema de las estaciones, si llamamos x al n¨²mero de estaciones antiguas e y al n¨²mero de estaciones nuevas, habr¨¢ que hacer 2xy billetes nuevos para enlazar a todas las nuevas con todas las antiguas (recordemos que el billete de ida y el de vuelta son distintos), a los que habr¨¢ que a?adir los billetes correspondientes a los enlaces de las estaciones nuevas entre s¨ª: y(y ¨C 1). Por lo tanto, 2xy + y(y ¨C 1) = 34, de donde y(2x + y ¨C 1) = 34. Puesto que y es un n¨²mero entero, tambi¨¦n ha de serlo 2x + y ¨C 1, por lo que solo hay dos soluciones: y = 1, x = 17; y = 2, x = 8; pero como nos dicen que hay varias estaciones nuevas, la soluci¨®n buscada es la segunda: hay 8 estaciones antiguas y 2 nuevas.

Defectuosos pero ¨²tiles

Una balanza desequilibrada, un metro menguado, unos dados con caras en blanco¡­ ?Hay que desecharlos? Nada de eso: tal vez puedan cumplir su funci¨®n habitual, e incluso alguna m¨¢s.

1. Una balanza est¨¢ muy desequilibrada: al ponerlo en uno de los platillos, un lingote de oro pesa 9 kilos, y al ponerlo en el otro pesa 4 kilos. ?Cu¨¢nto pesa en realidad?

2. Un vendedor de telas gana el 30 % sobre el precio de coste; pero un d¨ªa descubre un metro defectuoso que hace aumentar sus beneficios al 33 %. ?Cu¨¢nto mide en realidad el metro del vendedor tramposo?

3. Dos amigos que tienen una tienda de juegos reciben una partida de dados defectuosos: en algunas de las caras de la mayor¨ªa de ellos no se han marcado los n¨²meros correspondientes y, por tanto, est¨¢n en blanco. Uno de los amigos coge un dado que tiene tres caras en blanco y le propone al otro jugar de la siguiente forma: ¡°T¨² coges otro dado y los tiramos los dos; si salen dos caras en blanco o dos caras numeradas, gano yo; si sale una cara en blanco y otra numerada, ganas t¨²¡±. ?Con cu¨¢ntas caras en blanco ha de escoger su dado el segundo jugador para tener las mayores probabilidades de ganar?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯