El ahorcamiento inesperado
El m¨¦todo recursivo, que avanza paso a paso repitiendo una y otra vez un mismo razonamiento b¨¢sico, parece una forma segura de llegar a una conclusi¨®n v¨¢lida. Y sin embargo¡
La variante del problema de los sombreros blancos y negros propuesta la semana pasada por Gertrude Stein es m¨¢s clara e inequ¨ªvoca que otras: puesto que los tres sombreros no pueden ser blancos, si el tercer hombre viera dos blancos sabr¨ªa autom¨¢ticamente que el suyo es negro. Si el segundo hombre viera que el sombrero del primero es blanco, sabr¨ªa que el suyo es negro, pues de lo contrario el tercero habr¨ªa visto dos blancos. Por lo tanto, el sombrero del primero tiene que ser negro.
En cuanto a los isle?os de ojos azules o marrones, si solo hubiera uno de ojos azules, la declaraci¨®n del forastero se lo revelar¨ªa (al ver que todos los dem¨¢s ten¨ªan los ojos marrones) y abandonar¨ªa la isla al d¨ªa siguiente. Si hubiera dos, cada uno esperar¨ªa que el otro abandonara la isla al d¨ªa siguiente, y al ver que no lo hac¨ªa, ambos deducir¨ªan: ¡°Yo tambi¨¦n tengo los ojos azules¡±, y se ir¨ªan los dos al d¨ªa siguiente. Siguiendo con el mismo razonamiento, y llamando n al n¨²mero de isle?os con los ojos azules, al cabo de n d¨ªas se ir¨ªan todos. Este acertijo, por su car¨¢cter recursivo, recuerda la paradoja del ahorcamiento inesperado, que luego veremos.
La probabilidad de que en una pareja de personas de ojos marrones ambas sean portadoras del gen de ojos azules es 1/4 (si consideramos equiprobables las cuatro posibilidades: MM-MM, MM-Ma, Ma-MM, Ma-Ma), y la probabilidad de que en un cigoto coincidan ambos genes recesivos es 1/4, por lo que la probabilidad de que una pareja de ojos marrones engendre un beb¨¦ de ojos azules es 1/16. Pero se pide la probabilidad de que tengan un hijo de ojos azules, es decir, un var¨®n (pregunta-trampa antisexista), por lo que la probabilidad es la mitad de la anterior: 1/32. Sin embargo si consideramos que entre las personas de ojos marrones hay el doble de Ma que de MM (pues un Ma recibe el gen de un solo progenitor mientras que el MM ha de recibirlo de ambos a la vez), entonces las probabilidad de que en una pareja ambos sean portadores es 2/3.2/3 = 4/9, por lo que la probabilidad de que nazca un beb¨¦ de ojos azules es 1/9 (este segundo supuesto parece m¨¢s acorde con el enunciado, un tanto ambiguo).
La paradoja de la sentencia imposible
-El ahorcamiento tendr¨¢ lugar a mediod¨ªa -dijo el juez al prisionero-, uno de los siete d¨ªas de la semana pr¨®xima. Pero no sabr¨¢s qu¨¦ d¨ªa ser¨¢ hasta que no se te informe de ello la ma?ana del d¨ªa del ahorcamiento.
El prisionero, acompa?ado por su abogado, volvi¨® a la celda. Tan pronto como se quedaron solos, el abogado dijo:
-?Te das cuenta de que no es posible ejecutar la sentencia del juez?
-?Por qu¨¦?-pregunt¨® el prisionero.
-Obviamente, no pueden ahorcarte el pr¨®ximo domingo, porque es el ¨²ltimo d¨ªa de la semana, y el s¨¢bado sabr¨ªas que el ahorcamiento tendr¨ªa lugar el domingo. Lo sabr¨ªas antes de que se te comunicase el domingo por la ma?ana, y esto ir¨ªa en contra de la sentencia del juez.
-Cierto- dijo el prisionero.
-Por lo tanto, el domingo est¨¢ descartado -prosigui¨® el abogado-. Esto hace que el s¨¢bado sea el ¨²ltimo d¨ªa que pueden ahorcarte. Pero no pueden ahorcarte el s¨¢bado porque el viernes quedar¨ªan s¨®lo dos d¨ªas: s¨¢bado y domingo. Puesto que el domingo no podr¨ªa ser, el ahorcamiento tendr¨ªa que ser el s¨¢bado. Pero saber esto volver¨ªa a violar la sentencia del juez. As¨ª que el s¨¢bado tambi¨¦n queda eliminado. Esto nos deja el viernes como ¨²ltimo d¨ªa posible. Pero el viernes est¨¢ descartado, porque si est¨¢s vivo el jueves por la tarde sabr¨¢s que el vienes ser¨¢ el d¨ªa de la ejecuci¨®n.
-Entiendo- dijo el prisionero-. Del mismo modo puedo descartar el jueves, el mi¨¦rcoles, el martes y el lunes¡
La sentencia del juez parece autorrefutarse. A primera vista, no hay nada l¨®gicamente contradictorio en las dos afirmaciones que forman la sentencia; sin embargo, no puede llevarse a cabo en la pr¨¢ctica¡ ?O s¨ª?
Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯
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