La intuici¨®n matem¨¢tica de Ramanujan

A primera vista, ?ves algo especial en el n¨²mero 1729? Srinivasa Ramanujan, matem¨¢tico indio autodidacta en el que se basa la pel¨ªcula El hombre que conoc¨ªa el infinito (Mark Brown, 2016), s¨ª. Seg¨²n una conocida an¨¦cdota, un d¨ªa el tambi¨¦n matem¨¢tico G. H. Hardy le coment¨® que el taxi que acababa de tomar ten¨ªa como matr¨ªcula un n¨²mero vulgar, el 1729. A lo que Ramanujan contest¨® que no, en absoluto, sino que era un n¨²mero de gran relevancia: es el menor entero que puede ser expresado de dos maneras distintas como suma de dos n¨²meros elevados al cubo: 1729 = 1? + 12? = 9? +10?.

Ramanujan ten¨ªa la capacidad de captar las estructuras subyacentes de los n¨²meros. No ten¨ªa una mente matem¨¢tica t¨ªpica: prefer¨ªa centrarse en los ejemplos significativos antes que en? construcciones m¨¢s generales, obviando las demostraciones rigurosas. Esto choc¨® con la metodolog¨ªa de Hardy, a quien no le bastaba con ver, sino que necesitaba la cadena de silogismos que exige el m¨¦todo deductivo. Hardy conoc¨ªa suficientes ejemplos de conjeturas ilustradas con pocos casos que luego resultaban falsas.

Pese a no disponer de formaci¨®n acad¨¦mica (hecho que fue fuente de los ataques de sus colegas m¨¢s conservadores, como bien retrata el biopic), la intuici¨®n aritm¨¦tica de Ramanujan le permit¨ªa observar cancelaciones ocultas, patrones y simetr¨ªas en series num¨¦ricas, construir f¨®rmulas, identidades y c¨¢lculos. Su visi¨®n algebraica y combinatoria y sus habilidades de manipulaci¨®n de series, algoritmos, fracciones continuas estaban por encima de la mayor¨ªa de los matem¨¢ticos. Durante los cinco a?os que estuvo en Cambridge public¨® veinti¨²n art¨ªculos de investigaci¨®n.

Entre los manuscritos con teoremas y f¨®rmulas que maravillaron a Hardy, y que le valieron la invitaci¨®n para viajar a Inglaterra desde su Madr¨¢s natal, hab¨ªa igualdades de integrales, sumas con ra¨ªces anidadas y expresiones similares. Algunas ya hab¨ªan sido publicadas por matem¨¢ticos de renombre, aunque Ramanujan no las conoc¨ªa. Su primer resultado formal, publicado en el Diario de la Sociedad Matem¨¢tica de la India, antes de su viaje a Inglaterra, fue sobre las propiedades de los llamados n¨²meros de Bernoulli: descubri¨® que los denominadores de las fracciones de n¨²meros de Bernoulli eran siempre divisibles por seis.

Ramanujan ten¨ªa la capacidad de captar las estructuras subyacentes de los n¨²meros. No ten¨ªa una mente matem¨¢tica t¨ªpica: prefer¨ªa centrarse en los ejemplos significativos antes que en construcciones m¨¢s generales

La respuesta de Hardy muestra la fuerte impresi¨®n que le caus¨® el genio del matem¨¢tico indio: ¡°Estas f¨®rmulas me derrotaron completamente. Yo no hab¨ªa visto antes nada como esto. Una simple mirada resulta suficiente para darse cuenta de que solamente las podr¨ªa haber escrito un matem¨¢tico de primera clase. Deben ser verdad, porque nadie puede tener la imaginaci¨®n suficiente para invent¨¢rselas¡±. ¡°?De d¨®nde vienen estas f¨®rmulas, y por qu¨¦ son verdaderas?¡±

Uno de sus resultados m¨¢s bellos es el magn¨ªfico M¨¦todo del C¨ªrculo de Hardy-Ramanujan y Littlewood, que los dos primeros introdujeron para obtener su f¨®rmula de las particiones, central en la trama de la pel¨ªcula de Brown. Las particiones de un n¨²mero n son el n¨²mero de sus posibles descomposiciones en sumas de enteros positivos. Por ejemplo, P(4) = 5, porque 4 = 1+1+1+1 = 2+1+1 = 3+1 = 2+2 =4. Cuando n aumenta, P(n) se hace inmenso, por ejemplo, p(200) = 3.972.999.029.388. Hardy y Ramanujan lograron hallar una f¨®rmula asint¨®tica (es decir, no era exacta, pero cuando n se hac¨ªa muy grande, el error relativo de la f¨®rmula tend¨ªa a cero) para calcular las particiones de cualquier n¨²mero. El m¨¦todo del c¨ªrculo enseguida se aplic¨® a varios problemas de la teor¨ªa de n¨²meros, como el llamado problema de Waring, que consist¨ªa en calcular la representaci¨®n de un n¨²mero como suma de potencias k-¨¦simas, o la famosa conjetura de Goldbach: ?es todo par mayor que dos la suma de dos primos?

Muchas de las aportaciones de Ramanujan fueron enunciados y no demostraciones. Esta es una de las tensiones que se presentan en el film. ?l alcanzaba resultados novedosos sin apoyarlos en demostraciones formales, lo que era inaceptable para Hardy y para el m¨¦todo cient¨ªfico occidental: el resultado deb¨ªa de ser replicable (es decir, otro matem¨¢tico deb¨ªa poder seguir la demostraci¨®n). Sus dos cuadernos (que registr¨® en Madr¨¢s) contienen cientos de f¨®rmulas, el primero, con 351 p¨¢ginas; el segundo, con 56 p¨¢ginas; y el tercero con 33 p¨¢ginas; a?os despu¨¦s se descubri¨® un cuarto cuaderno. En la pel¨ªcula se da una visi¨®n algo distorsionada de la intuici¨®n de Ramanujan, da a entender que no necesitaba demostraciones porque ¡°ve¨ªa¡± las verdades matem¨¢ticas iluminado por la diosa hind¨² de su familia. Sin embargo, es m¨¢s posible que en India desarrollara las demostraciones en pizarra, pero no las anotara porque el papel era muy caro; o porque el estilo de los libros con los que hab¨ªa estudiado era de esta manera; o simplemente porque guardaba sus resultados por inter¨¦s personal, sin m¨¢s pretensiones.

Lo cierto es que no pudo terminar las demostraciones completas de sus anotaciones por falta de tiempo: falleci¨® con tan solo 32 a?os. Sin embargo, sus cuadernos inspiraron numerosos trabajos de matem¨¢ticos posteriores, que trataron de demostrar sus enunciados. Sus ideas tienen m¨¢s implicaciones que las que se observan a primera vista, e incluso han abierto nuevas direcciones de investigaci¨®n. Suyas son f¨®rmulas que incluyen intrigantes series infinitas para pi, que de hecho se siguen usando hoy en d¨ªa para aproximar el valor de este n¨²mero, ya que convergen extraordinariamente r¨¢pido (el resultado aproximado se acerca al valor de pi con un n¨²mero relativamente peque?o de iteraciones). Su legado, ahora retratado por Hollywood, va m¨¢s all¨¢ del exotismo de su figura, y supone un pilar de la teor¨ªa de n¨²meros moderna.

Algunas referencias de Ramanujan:

- Collected Papers of S. Ramanujan, AMS.ISBN 0-8218-2076-1;

- S. Ramanujan (1957): Notebooks, Tata Institute;

- S. Ramanujan (1988): The Lost Notebook;

- ¡°Ramanujan: Letters and Commentary¡±, Bruce Berndt y Robert A. Rankin (AMS y London Math. Society).

Antonio C¨®rdoba es director del ICMAT y catedr¨¢tico de la UAM. ?gata Tim¨®n G. Longoria es coordinadora de la Unidad de Comunicaci¨®n del ICMAT.