?Cu¨¢l es la m¨¢xima altura que puede saltar un humano?

Desde hace m¨¢s de 25 a?os, las mejores marcas en salto con p¨¦rtiga se mantienen estancadas. Durante los primeros cien a?os de los Juegos Ol¨ªmpicos de la Era Moderna (desde 1896 a 1990) los r¨¦cords aumentaron de manera casi mon¨®tona, a un ritmo medio de 3,2 cm/a?o. A partir de 1990, las mayores marcas apenas var¨ªan. Solo se increment¨® un cent¨ªmetro en 21 a?os, entre el r¨¦cord del ucraniano Sergu¨¦i Bubka en 1993, de 6,15, y el del franc¨¦s Renaurd Lavillenie en 2014, de 6,16. En estos JJ OO de R¨ªo, Lavillenie ha sido vencido por el brasile?o Thiago Braz da Silva, pero con una marca menor al r¨¦cord mundial: 6,03. Parece que existe una altura m¨¢xima de salto con p¨¦rtiga que un humano no podr¨¢ jam¨¢s franquear: los siete metros de altura. Las leyes de conservaci¨®n de la energ¨ªa ponen este l¨ªmite al atletismo.

Desde el punto de vista de la f¨ªsica un salto (de p¨¦rtiga y de altura) se puede entender como una transferencia de energ¨ªa cin¨¦tica (la fase de carrera) en energ¨ªa potencial (la que posee el atleta al alcanzar la altura m¨¢xima). Si no hay p¨¦rdida, toda la energ¨ªa cin¨¦tica se transformar¨ªa en potencial. La energ¨ªa cin¨¦tica se calcula con la f¨®rmula ? MV ?, donde M es la masa y V la velocidad. Para Renaud Lavillenie por ejemplo, su masa es de M=70kg y la velocidad que alcanz¨® fue V=9,9 m/s. Por tanto, su energ¨ªa cin¨¦tica al final de la carrera fue de 3430 julios. Por otro lado, la energ¨ªa potencial se obtiene con la f¨®rmula MgH, donde M es de nuevo la masa, g es la aceleraci¨®n de la gravedad y H la altura del centro de masa. Para elevar un kilo a un metro del suelo se necesitan 9,81 julios, as¨ª que, Lavillenie necesita 687 julios para elevar su centro de masa cada metro. Si toda su energ¨ªa cin¨¦tica se convirtiera en potencial, su centro de gravedad podr¨ªa entonces elevarse 3430/687= 5 metros.

Como Lavillenie mide 1,76 m, al final del salto su centro de gravedad (que est¨¢ m¨¢s o menos en la mitad de su cuerpo) est¨¢ a 5,88 m. Sin embargo, estableci¨® un r¨¦cord de 6,16 m: ?desafi¨® las leyes de la f¨ªsica? No, nos falta por considerar un detalle: no es el centro de masas lo que debe pasar por encima de la barra, sino el cuerpo. Su centro de gravedad est¨¢ a 5,88 m pero su pelvis est¨¢ encima, a una distancia L/4, o sea 44 cm arriba. La altura m¨¢xima a la cual Renaud Lavill¨¦nie puede saltar es entonces 5,88+0,44=6,32m. Otras caracter¨ªsticas f¨ªsicas (masa, velocidad de carrera y altura) conducen a otras alturas m¨¢ximas aunque sin mucha variaci¨®n, y aunque evidentemente hay simplificaciones en estos c¨¢lculos, parece que la altura m¨¢xima a la cual un ser humano podr¨ªa saltar son 7m.

Parece que existe una altura m¨¢xima de salto con p¨¦rtiga que un humano no podr¨¢ jam¨¢s franquear: los siete metros de altura

Tambi¨¦n la p¨¦rtiga es clave en el razonamiento anterior, aunque no la hayamos nombrado: hemos supuesto como hip¨®tesis que transforma toda la velocidad de la carrera (horizontal) es velocidad vertical (de la energ¨ªa potencial). Esta transformaci¨®n se realiza gracias a la elasticidad de la p¨¦rtiga. En concreto, la energ¨ªa cin¨¦tica de la carrera se almacena en energ¨ªa el¨¢stica de deformaci¨®n de la p¨¦rtiga, que luego se usa transform¨¢ndose en energ¨ªa potencial. Si la p¨¦rtiga no disipa energ¨ªa, la conservaci¨®n de la energ¨ªa en cada una de las etapas conduce a la igualdad entre la energ¨ªa cin¨¦tica de la carrera y la energ¨ªa potencial que hab¨ªamos supuesto antes.

Sin p¨¦rtiga, la situaci¨®n cambia, y por eso hay tanta diferencia entre los r¨¦cord de salto de p¨¦rtiga y salto de altura. El r¨¦cord de salto de altura fue establecido en 2,45 m, por Javier Sotomayor en 1993. Es 3,71m menos que el del salto de p¨¦rtiga. Sotomayor mide 1,95 m y alcanza 8 m/s en su carrera. Aplicando el razonamiento anterior deber¨ªa poder alcanzar los 4,72m. Pero aqu¨ª la transferencia de energ¨ªa, que se realiza con el pivotamiento sobre el tobillo supone una mayor p¨¦rdida: su velocidad vertical pas¨® a ser de 4,6 m/s. Teniendo en cuenta esta diferencia, se obtiene 2,54 m. Adem¨¢s, considerando la posici¨®n de los saltadores de altura (conocida como posici¨®n Fosbury), se obtiene una altura m¨¢xima de 2,46 m, lo que no est¨¢ lejos de su r¨¦cord, y parece, que del l¨ªmite de todos los mortales.

Caroline Cohen es investigadora postdoctoral en la Ecole Polytechnique (CNRS), y realiz¨® su doctorado en f¨ªsica del deporte.

Christophe Clanet es investigador del CNRS, director del laboratorio de hidrodin¨¢mica de la Ecole Polytechnique(LadHyX) y desarrolla un grupo de investigaci¨®n en f¨ªsica del deporte.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.