La pir¨¢mide escalonada

Si un d¨ªa, al despertarte, vieras que tu habitaci¨®n y todo cuanto hab¨ªa en ella era el doble de grande, ?c¨®mo podr¨ªas saber de forma inmediata si hab¨ªas menguado como Alicia en el Pa¨ªs de las Maravillas o si te hab¨ªan gastado una maravillosa broma traslad¨¢ndote mientras dorm¨ªas a una habitaci¨®n a escala 2:1?

Muy f¨¢cil: si hubieras menguado, te sentir¨ªas el doble de fuerte; podr¨ªas levantar tu propio peso con una sola mano y dar saltos asombrosos en relaci¨®n con tu estatura. Pero en el caso de que te hubieran gastado una broma inspirada en un cuento del Decamer¨®n (o en La vida es sue?o, sin ir m¨¢s lejos), te sentir¨ªas exactamente igual en lo que a capacidades f¨ªsicas se refiere.

La explicaci¨®n tiene que ver la ley cuadr¨¢tico-c¨²bica de Galileo. Si, manteniendo tus proporciones actuales, tu estatura se redujera a la mitad, tu volumen y tu peso ser¨ªan ocho veces menores, pero la secci¨®n de tus huesos, tendones y m¨²sculos solo ser¨ªa cuatro veces menor. Y como la fuerza y la resistencia de los huesos, tendones y m¨²sculos depende de su secci¨®n, ser¨ªas, en relaci¨®n con tu tama?o, el doble de fuerte que antes de la reducci¨®n. Por eso David el Gnomo puede jactarse de ser siete veces m¨¢s fuerte que un hombre. Por eso una hormiga puede transportar una hoja enorme en relaci¨®n con su tama?o. Y por eso es una solemne tonter¨ªa decir que si una pulga fuera del tama?o de un hombre podr¨ªa saltar por encima de un edificio; si una pulga creciera hasta volverse del tama?o de un hombre, se desplomar¨ªa aplastada por su propio peso.

En la pel¨ªcula El incre¨ªble hombre menguante (por otra parte excelente), el protagonista se mueve e interact¨²a con el entorno como si todo hubiera crecido en vez de haber menguado ¨¦l: no da saltos enormes ni levanta grandes pesos en relaci¨®n con su tama?o, como si por alguna oscura raz¨®n no pudiera beneficiarse de la ley del cuadrado-cubo.

Presi¨®n uniforme

Las animadas discusiones sobre la ley cuadr¨¢tico-c¨²bica (ver comentarios de la entrega anterior) llevaron a plantear algunos interesantes problemas en la l¨ªnea del siguiente, inspirado en uno propuesto por nuestro asiduo comentarista Manuel Amor¨®s:

En la pir¨¢mide de Kukulc¨¢n, en Chich¨¦n Itz¨¢, es evidente que cada uno de sus nueve niveles o basamentos soporta una presi¨®n mayor cuanto m¨¢s abajo se encuentra. Y parece que no podr¨ªa ser de otra manera, pues sobre cada nivel se apoya el peso de todos los que tiene encima. Y sin embargo¡­

?C¨®mo deber¨ªa ser una pir¨¢mide escalonada para que todos los basamentos soportaran la misma presi¨®n?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.