El lento Aquiles y la veloz tortuga

Se puede demostrar que la serie arm¨®nica es divergente (o sea, que crece indefinidamente) sin m¨¢s que agrupar sus t¨¦rminos de la siguiente manera:

1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8)¡­

Evidentemente, la serie es mayor que esta otra:

1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8)¡­ = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2¡­

Y puesto que la segunda crece indefinidamente, pues podemos sumarle 1/2 tantas veces como queramos, la primera tambi¨¦n.

En cuanto al l¨ªmite de 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16¡­, es 2. Basta con darse cuenta de que la suma de los n primeros t¨¦rminos de la serie es igual a 2 menos el t¨¦rmino en¨¦simo, que puede ser tan peque?o como queramos; as¨ª:

1 + 1/2 = 2 ¨C 1/2

1 + 1/2 + 1/4 = 2 ¨C 1/4

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 2 ¨C 1/8¡­

Sobre la relaci¨®n de esta serie (cuyo t¨¦rmino general es 1/2ⁿ, pues se trata de 1 dividido por las sucesivas potencias de 2) con la conocida paradoja de Aquiles y la tortuga, nadie ha hecho el menor comentario, as¨ª que luego volveremos sobre ello.

La relaci¨®n de la sucesi¨®n de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13¡­) con la divina proporci¨®n no podr¨ªa ser m¨¢s estrecha: si dividimos cada t¨¦rmino de la sucesi¨®n por el anterior, nos vamos acercando r¨¢pidamente al n¨²mero ¨¢ureo (1.618¡­) alternativamente por defecto y por exceso:

1/1 = 1

2/1 = 2

3/2 = 1.5

5/3 = 1.666¡­

8/5 = 1.6

13/8 = 1.625¡­

Si llamamos a y b a dos n¨²meros de Fibonacci consecutivos cualesquiera, los ochos siguientes ser¨¢n a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b, 13a+21b y 21a+34b. La suma de los diez t¨¦rminos ser¨¢, por tanto, 55a+88b, que es el s¨¦ptimo t¨¦rmino (5a+8b) multiplicado por 11.

Las paradojas de Zen¨®n

Para simplificar, imaginemos a un Aquiles muy lento (debido a un problemilla en el tal¨®n), que solo avanza 1 metro por segundo, y a una tortuga muy r¨¢pida, cuya velocidad es de 1/2 metro por segundo.

La "paradoja de Aquiles y la tortuga", de Zen¨®n de Elea, es una de las m¨¢s famosas sobre el movimiento

Si al inicio de la carrera la tortuga est¨¢ 1 metro por delante, cuando Aquiles haya recorrido ese metro la tortuga habr¨¢ recorrido 1/2 metro, cuando el de los pies ligeros (es un decir) haya recorrido ese medio metro la tortuga habr¨¢ recorrido 1/4, y as¨ª sucesivamente, con lo que la aproximaci¨®n del lento Aquiles a la veloz tortuga se puede expresar mediante la serie de los inversos de las potencias de 2:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16¡­

De paso, hemos hallado una forma ¡°f¨ªsica¡± de demostrar que el l¨ªmite de la serie es 2: puesto que la velocidad relativa de Aquiles con respecto a la tortuga es de 0.5 m/s, tardar¨¢ 2 segundos en cubrir el metro que los separa, y la distancia recorrida ser¨¢ 2 metros.

La de Aquiles y la tortuga es la m¨¢s famosa de las paradojas de Zen¨®n de Elea (no confundir con Zen¨®n el Estoico) sobre el movimiento, pero no la ¨²nica ni la m¨¢s inquietante. Veamos una variante moderna:

Una mosca choca frontalmente contra la locomotora de un tren que va en sentido contrario. Puesto que la mosca (o lo que quede de ella) se mueve tras el choque en sentido opuesto al anterior, en alg¨²n momento su velocidad tiene que haber sido cero (puesto que ha pasado de positiva a negativa con respecto a su eje direccional); pero en ese momento la mosca estaba pegada a la locomotora, por lo que la velocidad del tren tambi¨¦n ha tenido que ser cero por un instante, que es como decir que la mosca ha parado al tren¡­ ?Pueden nuestros sagaces lectores y lectoras explicar este extra?o fen¨®meno?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellosMaldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.