Series y sucesiones

Una pir¨¢mide escalonada cuyos basamentos, de arriba abajo y de acuerdo con la f¨®rmula (2n-1)/n², tuvieran respectivamente unas alturas decrecientes iguales a 1, 3/4, 5/9, 7/16, 9/25¡­, a primera vista no parece que pudiera ser muy alta, dada la rapidez con que menguan los escalones: 1, 0.75, 0.55, 0.43, 0.36¡­ Dir¨ªase que pronto se llegar¨¢ a basamentos de escasos mil¨ªmetros de altura, y de hecho as¨ª es. Y sin embargo, no hay l¨ªmite para la altura te¨®rica de nuestra pir¨¢mide: si la construy¨¦ramos sobre un plano infinito y en ausencia de gravedad, podr¨ªa ser tan alta como quisi¨¦ramos.

Si comparamos la serie 1 + 3/4 + 5/9 + 7/16 + 9/25¡­ con la conocida serie arm¨®nica: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5¡­, vemos que la primera es, miembro a miembro, mayor que la segunda, y puesto que la serie arm¨®nica es divergente (es decir, crece indefinidamente al aumentar el n¨²mero de sumandos), la primera tambi¨¦n lo es.

Por cierto, se puede demostrar de forma sencilla e ingeniosa, sin grandes conocimientos matem¨¢ticos, que la serie arm¨®nica es divergente. ?C¨®mo?

Las series que no crecen indefinidamente, sino que a medida que sumamos m¨¢s t¨¦rminos se aproximan cada vez m¨¢s a un determinado valor finito, que es el l¨ªmite de la serie, se denominan convergentes. Por ejemplo, 1 + 1/2 + 1/4 +1/8 + 1/16 + 1/32¡­ ?Cu¨¢l es su l¨ªmite? ?Y cu¨¢l es la relaci¨®n de esta serie con la conocida paradoja de Aquiles y la tortuga?

La sucesi¨®n de Fibonacci

Los t¨¦rminos ¡°serie¡± y ¡°sucesi¨®n¡± se utilizan a menudo como sin¨®nimos, pero en matem¨¢ticas tienen significados distintos. Una sucesi¨®n es un conjunto de n¨²meros ordenados de acuerdo con alg¨²n criterio, mientras que una serie, como acabamos de ver, es el sumatorio de una sucesi¨®n (representado por la letra griega ¡Æ), o sea, la suma de sus t¨¦rminos.

La sucesi¨®n m¨¢s famosa es la de Fibonacci (a menudo llamada err¨®neamente ¡°serie de Fibonacci¡±), en la que cada t¨¦rmino es la suma de los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21¡­

La sucesi¨®n de Fibonacci, que aparece a menudo en la naturaleza, est¨¢ directamente relacionada con la divina proporci¨®n (?de qu¨¦ manera?) y tiene curiosas propiedades. Por ejemplo, la suma de diez n¨²meros de Fibonacci consecutivos cualesquiera siempre es igual al s¨¦ptimo de esos diez n¨²meros multiplicado por 11. ?Por qu¨¦?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.