Matem¨¢ticas para mirar dentro del cuerpo humano

En el Congreso Internacional de Matem¨¢ticos de 1998, Gunther Uhlmann (Universidad de Washington, EE UU) llam¨® la atenci¨®n sobre un viejo problema del argentino Alberto Calder¨®n en el que se preguntaba si existe un m¨¦todo para crear im¨¢genes del interior de un objeto a partir de medidas el¨¦ctricas en la superficie. Uhlmann lo se?al¨® como el problema m¨¢s importante del ¨¢rea de problemas inversos, m¨¢s all¨¢ de su inter¨¦s aplicado, de donde naci¨®. Calder¨®n dio con la cuesti¨®n como m¨¦todo para buscar petr¨®leo utilizando medidas en la superficie de la tierra cuando trabajaba en la petrolera YPF.

La t¨¦cnica EIT emplea una serie de electrodos en la piel del paciente. Se emiten corrientes el¨¦ctricas y, una vez atraviesan el cuerpo, se mide los voltajes generados, otra vez en la piel

Esta misma t¨¦cnica se puede utilizar en ex¨¢menes m¨¦dicos de tomograf¨ªa de impedancia el¨¦ctrica (EIT en sus siglas en ingl¨¦s), una prueba diagn¨®stica barata y no invasiva. No solo no hace falta introducir objetos en el cuerpo (como se hace en la endoscopia, por ejemplo), sino que tampoco se ha de someter a radiaciones agresivas (como se hace en el TAC, con rayos X).

La t¨¦cnica EIT emplea una serie de electrodos en la piel del paciente. Se emiten corrientes el¨¦ctricas y, una vez atraviesan el cuerpo, se mide los voltajes generados, otra vez en la piel. Se repite el experimento con diferentes configuraciones de corriente y, a partir de estos datos, se reconstruye la conductividad del interior del cuerpo. Cada material resiste la electricidad de distinta forma (un hueso, el aire del interior del pulm¨®n, la sangre, un tumor¡­), de manera que las distintas conductividades en cada punto permiten obtener una imagen del cuerpo.

El problema de Calder¨®n es lo que se llama un problema inverso. En vez de partir de una ecuaci¨®n y calcular sus soluciones, se tienen las soluciones, y se quiere determinar la conductividad y por tanto la ecuaci¨®n. De cierta manera es buscar la pregunta, dada la respuesta. Si alguien responde ¡°Ma?ana har¨¢ soleado¡±, podemos deducir que la pregunta habr¨¢ sido ¡°?Qu¨¦ tiempo har¨¢ ma?ana?¡±. Siguiendo con la analog¨ªa anterior, si la respuesta es menos determinante, por ejemplo ¡°25¡±, hay muchas preguntas que podr¨ªan ser contestadas con ella:¡°?Cu¨¢ntos a?os tienes?¡±, ¡°?qu¨¦ d¨ªa era tu cumplea?os?, ¡°?cu¨¢nto te cost¨® esa falda?¡±¡­ Por tanto, no siempre hay una ¨²nica cuesti¨®n de fondo; para algunos problemas podr¨ªa haber varias configuraciones que dieran lugar al mismo resultado, y por tanto no habr¨ªa manera de resolver el problema inverso.

El trabajo de estos dos cient¨ªficos es estrictamente te¨®rico, pero podr¨ªa ayudar a mejorar los algoritmos con los que funcionan los aparatos

Sin embargo, Pedro Caro (Ikerbasque-BCAM) y Keith Rogers (CSIC-ICMAT) han probado que el Problema de Calder¨®n s¨ª puede resolverse. Han confirmado la conjetura de Uhlmann, demostrando que existe una ¨²nica ecuaci¨®n para cada conjunto de mediciones en la superficie, siempre y cuando la conductividad en el interior y la superficie cumpla ciertos requisitos de regularidad. Gracias a este reciente trabajo, publicado en la revista Forum of Mathematics, Pi, se sabe que si la conductividad en nuestro cuerpo no crece descontroladamente en ninguna regi¨®n, se puede esperar que las im¨¢genes que generan las m¨¢quinas de EIT sean fiables, m¨¢s o menos. ¡°En un mundo perfecto, con una m¨¢quina ideal, la imagen ser¨ªa perfecta. Pero en el problema de Calder¨®n no se consideran posibles errores, redondeo, etc.¡±, puntualiza Rogers.

El trabajo de estos dos cient¨ªficos es estrictamente te¨®rico, pero podr¨ªa ayudar a mejorar los algoritmos con los que funcionan los aparatos. ¡°Pero para implementarlo en una m¨¢quina no interesa tanto la f¨®rmula perfecta, sino la mas estable o la que pueda funcionar bien con datos imperfectos. Adem¨¢s entran otras variables de ingenier¨ªa inform¨¢tica¡±, asegura Rogers.

Sin embargo, m¨¢s all¨¢ de cerrar una pregunta abierta desde hace d¨¦cadas, dentro de la propia matem¨¢tica las implicaciones de este trabajo son importantes. Muchos problemas inversos comparten la misma estructura fundamental. Por ejemplo en los llamados problemas de tipo scattering, en los que se pretende reconstruir un objeto a partir de la manera en que perturba las ondas de sonido o luz. Es la idea que fundamenta los radares, o el funcionamiento del ojo humano.

?gata Tim¨®n es miembro del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.