?Por qu¨¦ no se puede cuadrar un c¨ªrculo?

Cuando hablamos de ¡°la cuadratura del c¨ªrculo¡±, nos referimos a algo in¨²til o imposible de alcanzar. Dicha expresi¨®n proviene de un problema que surgi¨® en la antigua Grecia, y que se mantuvo sin soluci¨®n hasta finales del siglo XIX. Dicho problema, a grandes rasgos, consist¨ªa en construir con regla y comp¨¢s un cuadrado a partir de un c¨ªrculo dado de antemano. Vamos a hablar de ese tipo de construcciones, con regla y comp¨¢s, y veremos por qu¨¦ la cuadratura del c¨ªrculo es imposible de resolver para estas construcciones.

Antes de meternos con el problema en cuesti¨®n, hablemos un poco sobre construcciones con regla y comp¨¢s. Fue en la Grecia cl¨¢sica en la que se introdujeron estas construcciones, que se consideraban ¡°ideales¡±. Esta regla y este comp¨¢s no son exactamente como la regla y el comp¨¢s que ahora mismo pod¨¦is tener en mente, sino que son idealizaciones de dichos instrumentos que, seg¨²n la Grecia cl¨¢sica, deben seguir ciertas normas:

¡¤) La regla se considera infinita, no tiene marcas (es decir, no podemos ¡°medir¡± con ella) y tiene solamente un borde (vamos, que no podemos usar los dos bordes para, por ejemplo, dibujar directamente dos paralelas). Por tanto, solamente nos sirve para trazar un segmento que una dos puntos ya dibujados (o una recta que pase por ellos), o para prolongar una recta ya trazada.

¡¤) El comp¨¢s solamente puede trazar circunferencias (o arcos de circunferencias) cuyo centro sea un punto ya construido y cuyo radio sea el segmento entre el centro y otro punto ya construido. Una caracter¨ªstica curiosa de este comp¨¢s es que en el momento en el que lo levantamos del papel ¡°olvida¡± el radio de la circunferencia que acaba de trazar.

Viendo esto, uno podr¨ªa pensar que con unas normas tan restrictivas se pueden hacer pocas cosas. Nada m¨¢s lejos de la realidad: se pueden realizar much¨ªsimas y muy complejas construcciones con la regla y el comp¨¢s griegos partiendo de solamente dos puntos preconstruidos. Por poner algunos ejemplos simples, se puede construir la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ¨¢ngulo, una paralela o una perpendicular a una recta ya dada y unos ejes coordenados.

Tambi¨¦n podemos construir puntos. Un punto ser¨¢ construible si es intersecci¨®n de dos rectas construibles, intersecci¨®n de dos circunferencias construibles o intersecci¨®n de una recta y una circunferencia construibles. Por tanto, y teniendo ya los ejes coordenados, podemos construir las proyecciones a los dos ejes de un punto cualquiera que ya estuviera construido, y tambi¨¦n el opuesto de un punto construible. Por otra parte, dados dos puntos construibles podemos construir el punto cuyas coordenadas son la suma de las coordenadas de ambos; dados dos puntos de coordenadas (a,0) y (b,0), podemos construir el punto de coordenadas (ab,0); dado un punto de coordenadas (a,0), podemos construir el punto (1/a,0); y dado un punto de coordenadas (a,0), podemos construir el punto (¡Ìa,0). Y muchas (pero muchas) cosas m¨¢s. Un dato m¨¢s para los que hayan estudiado matem¨¢ticas a niveles universitarios: el conjunto de los n¨²meros complejos asociados a los puntos construibles es un cuerpo contenido (estrictamente) en el cuerpo de los n¨²meros complejos. Casi nada.

En relaci¨®n con los puntos construibles, hay un detalle interesante que es importante remarcar: para que un n¨²mero sea construible, es necesario que sea algebraico (entendemos que un n¨²mero k es construible si el punto (k,0) es construible). ?Y qu¨¦ es un n¨²mero algebraico? Pues un n¨²mero que puede obtenerse como soluci¨®n de una ecuaci¨®n polin¨®mica cuyos coeficientes sean n¨²meros enteros. Por ejemplo, cualquier n¨²mero racional p/q es algebraico (y, por tanto, construible), ya que es soluci¨®n de la ecuaci¨®n qx-p=0; y tambi¨¦n hay n¨²meros irracionales que son algebraicos (y, en consecuencia, construibles), como ¡Ì2, que es soluci¨®n de la ecuaci¨®n x²-2=0.

Ya podemos adentrarnos en nuestro problema, que, por cierto, ya hab¨ªamos citado en este art¨ªculo. La cuadratura del c¨ªrculo consiste en construir, con la regla y el comp¨¢s griegos, un cuadrado que tenga la misma ¨¢rea que un c¨ªrculo dado previamente. Pod¨¦is intentar hacerlo antes de seguir leyendo, pero no podr¨¦is. Alguno de vosotros podr¨ªa ¡°conseguirlo¡±, pero su construcci¨®n tendr¨¢ alg¨²n error o contendr¨¢ alg¨²n paso ¡°ilegal¡±.

Supongamos que nuestra circunferencia tiene radio R, por lo que su ¨¢rea ser¨¢ ¦ÐR². La historia es construir un cuadrado que tenga esa misma ¨¢rea. Si el lado de ese cuadrado mide L, su ¨¢rea ser¨¢ L². Si conseguimos construir el n¨²mero L, el problema estar¨ªa resuelto afirmativamente.

Para buscar la expresi¨®n de L, igualamos las ¨¢reas y tomamos ra¨ªz cuadrada a ambos lados, obteniendo que L=R ¡¤ ¡Ì¦Ð. Como R es construible (es el radio de la circunferencia inicial), para que L se pueda construir debemos poder construir el n¨²mero ¡Ì¦Ð. Y aqu¨ª est¨¢ la clave: el n¨²mero ¡Ì¦Ð no es construible porque el propio ¦Ð no es construible, ya que si ¡Ì¦Ð fuera construible podr¨ªamos construir el n¨²mero ¡Ì¦Ð ¡¤ ¡Ì¦Ð=¦Ð.

La raz¨®n por la que ¦Ð no es construible es que ¦Ð no es algebraico (recordad que antes hemos comentado que para que un n¨²mero sea construible es necesario que dicho n¨²mero sea algebraico). Y este hecho fue demostrado por Carl Louis Ferdinand von Lindemann en 1882 (en este enlace pod¨¦is ver una demostraci¨®n). Estos n¨²meros que, como ¦Ð, no son algebraicos se denominan trascendentes. El mundo de los n¨²meros trascendentes tambi¨¦n tiene caracter¨ªsticas muy interesantes, como que hay m¨¢s trascendentes (infinito no numerable) que algebraicos (infinito numerable) pero se conocen expl¨ªcitamente muy pocos: ¦Ð, el n¨²mero e o la constante de Liouville (el primer n¨²mero que se demostr¨® que era trascendente) son algunos ejemplos.

Esto cierra el problema¡­pero parece que no para todos, ya que, incluso actualmente, sigue habiendo gente que cree haber resuelto de manera afirmativa el problema de la cuadratura del c¨ªrculo. Todas las supuestas demostraciones en esta l¨ªnea que os pod¨¢is encontrar contendr¨¢n, como coment¨¦ antes, alg¨²n error o alg¨²n paso ilegal seg¨²n las normas griegas. Y teniendo el problema ya cerrado, es imposible cuadrar un c¨ªrculo, ni merece la pena buscar el error.

Para finalizar, os animo a intentar hacer vosotros mismos algunas de las construcciones con regla y comp¨¢s que comento en el art¨ªculo, o cualquier otra que se os ocurra, y a que nos coment¨¦is cualquier duda que os pueda surgir al intentar realizarlas.