?Es jugar a la loter¨ªa una buena decisi¨®n?

Como todos los a?os en fechas cercanas al sorteo navide?o, se suceden art¨ªculos, en n¨²mero cercano a los plagios del rector de cierta universidad, sobre aspectos matem¨¢ticos en relaci¨®n con la loter¨ªa y, m¨¢s generalmente, sobre la racionalidad de comprarla. La discusi¨®n habitual se centra en que la probabilidad de obtener premio, en particular el Gordo, es muy peque?a y que el valor monetario esperado de comprar un billete es negativo. A pesar de ello, millones de personas lo compramos. Resultado: el Estado ingresa una cantidad importante de dinero con esta actividad, muchos perdemos una peque?a cantidad de dinero, algunos recuperan su dinero, y unos pocos, muy pocos, obtienen un premio sustancial, parte del cual retorna al Estado a trav¨¦s de impuestos.

?Qu¨¦ hacer, entonces? No es tan sencillo tomar decisiones en incertidumbre, es decir, elegir entre un conjunto de alternativas cuyas consecuencias son inciertas. Para ello se emplean modelos provenientes de la llamada teor¨ªa de la decisi¨®n estad¨ªstica. Adem¨¢s del ejemplo de la loter¨ªa, cubrir¨ªamos casos como los de invertir en Bolsa, adquirir un seguro, decidir una pol¨ªtica p¨²blica o financiar proyectos de investigaci¨®n.

Frente a un problema de decisi¨®n podemos optar por varias v¨ªas para seleccionar nuestras alternativas: la intuici¨®n, el uso de reglas o el an¨¢lisis. La intuici¨®n se apoya en heur¨ªsticas, y autores como el psic¨®logo alem¨¢n Gerd Gigerenzer, y nuestra propia evoluci¨®n, muestran lo exitosa que es esta estrategia en muchos casos. Pero no siempre: tambi¨¦n puede conducir a sesgos, paradojas y malas, muy malas decisiones. Frente a ello, se pueden emplear reglas que resumen experiencia y decisiones previas. Su pega: no se adaptan bien en situaciones cambiantes y altamente inciertas. Finalmente, encontramos los m¨¦todos del an¨¢lisis de decisiones, que requieren mayor esfuerzo cognitivo y computacional. Estos siguen fundamentalmente el principio de escoger la alternativa de m¨¢xima utilidad esperada.

En cierta forma, tal principio comienza con la paradoja de San Petersburgo , resuelta por el matem¨¢tico Daniel Bernoulli. Es un juego particular de loter¨ªa, en el que el jugador ha de pagar una cantidad fija para participar. Se lanza una moneda equilibrada hasta que sale cara por primera vez. Si esto ocurre en la tirada n-¨¦sima, el jugador recibe 2^n euros (si sale en la primera tirada, ganar¨ªa dos euros, si sale en la segunda, 4, y as¨ª sucesivamente). El valor esperado de este juego es infinito, pero¡­. ?cu¨¢nto est¨¢ dispuesto a pagar un jugador por participar? ?10 euros? ?15, como mucho? Bernoulli plante¨® que, en este caso, el valor monetario esperado no resume de forma adecuada el juego, y se?al¨® la diferencia entre ganancia y utilidad de la ganancia: ¡°cualquier incremento en riqueza, no importa cu¨¢n insignificante, siempre resultar¨¢ en un incremento en utilidad que es inversamente proporcional a la cantidad de bienes ya pose¨ªdos¡±. Un argumento luego corregido y generalizado por grandes como Ramsey, De Finetti, Von Neumann y Morgestern o Savage.

Frente a un problema de decisi¨®n podemos optar por varias v¨ªas para seleccionar nuestras alternativas: la intuici¨®n, el uso de reglas o el an¨¢lisis

Para saber si debemos o no comprar loter¨ªa con estos modelos, llamados de utilidad esperada, calculamos la utilidad de nuestra fortuna actual. Si fuese mayor que la utilidad esperada de nuestra fortuna tras sortearse la loter¨ªa, no deber¨ªamos comprar el billete. En la utilidad pueden modelizarse no s¨®lo criterios monetarios, sino tambi¨¦n otros atributos como el pesar., Adem¨¢s, se modelizan nuestras actitudes frente al riesgo. En particular, un sector tan importante como el de los seguros se asienta de manera fundamental en el concepto de aversi¨®n al riesgo.

En el problema de la loter¨ªa navide?a se conocen las probabilidades de los resultados de forma objetiva. Pero en muchas decisiones bajo incertidumbre, tales probabilidades no estar¨¢n disponibles y debemos utilizar juicios de expertos para asignarlas mediante t¨¦cnicas estructuradas de modelizaci¨®n de creencias, amenamente ilustradas en Superforecasting. En presencia de informaci¨®n adicional se actualizan mediante la f¨®rmula de Bayes, sustento de numeros¨ªsimos avances tecnol¨®gicos de nuestra sociedad Internet.

Pero ninguna predicci¨®n es definitiva. La teor¨ªa anterior ha recibido cr¨ªticas desde el punto de vista descriptivo: nuestras decisiones intuitivas no siempre se conforman a los principios racionales, como tal vez ocurre con las decisiones de loter¨ªa. Podemos ver esto como defectos a corregir con entrenamiento adecuado de los decisores. Alternativamente, se han desarrollado otras teor¨ªas, como la prospectiva, que, en cualquier caso, consideran perturbaciones de las medidas de incertidumbre y de las preferencias y actitudes frente al riesgo y su integraci¨®n.

Como elemento adicional, en muchas situaciones de toma de decisiones, hay otros participantes que toman alternativas que influyen en nuestros resultados, junto a factores externos, con ejemplos como las decisiones nacionales de ciberseguridad, las inversiones empresariales en publicidad, o la lucha frente al terrorismo. As¨ª, surge como fuente adicional de incertidumbre la acci¨®n que adoptar¨¢n nuestros competidores. Este es el escenario tradicional de la teor¨ªa de juegos, que se basa en calcular las mejores respuestas de cada jugador frente a las de los otros agentes. De su cruce, mi mejor respuesta a tu mejor respuesta, se obtienen soluciones de equilibrio. Sin embargo, en numerosos contextos no se conocen com¨²nmente los intereses y creencias de los jugadores, y ser¨ªa mejor optar por los nuevos m¨¦todos del an¨¢lisis de riesgos adversarios. Para ello, necesitamos construir una predicci¨®n de lo que van a hacer los contrincantes, mediante simulaci¨®n de sus problemas. Y una vez con esta predicci¨®n volver¨ªamos a un problema similar al de decidir si jugar o no en la loter¨ªa.

David R¨ªos es AXA-ICMAT Chair en Adversarial Risk Analysis y Numerario de la Real Academia de Ciencias.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.