Detectives matem¨¢ticos para detectar fraudes en la Loter¨ªa de Navidad

Aunque todo el mundo acabe jugando, en el fondo sabemos que es muy poco probable ganar la Loter¨ªa. En concreto, en la Loter¨ªa de Navidad, comprando un solo boleto se tiene una probabilidad de 1 entre 100.000 de tener el n¨²mero ganador. Como explicaba el matem¨¢tico de la Universidad de Victoria (Canad¨¢) Florin Diacu en un art¨ªculo anterior de Caf¨¦ y Teoremas, es mucho m¨¢s f¨¢cil que te atropelle un coche. Comprando m¨¢s n¨²meros, las posibilidades de ganar aumentan, pero el crecimiento de la posibilidad de resultar ganador es m¨¢s lento que la inversi¨®n que requiere: es muy caro comprar la suerte.

Aun es m¨¢s raro que te toque dos veces. Casos como el de Carlos Fabra, ex presidente del PP castellonense?y ex presidente de la diputaci¨®n, que afirm¨® haber ganado al menos en cuatro ocasiones la loter¨ªa de Navidad, sumando 2,2 millones de euros en premios grandes, entre los a?os 2000 y 2011, son poco probables. Para que resultar premiado tantas veces consecutivas, tienes que jugar mucho. En 2014 un grupo de estad¨ªsticos y probabilistas estadounidenses, junto con un periodista de investigaci¨®n, establecieron una cota m¨ªnima del gasto del jugador usando t¨¦cnicas matem¨¢ticas de la llamada investigaci¨®n operativa, con el objetivo de identificar fraudes en el juego. Distingu¨ªan dos tipos de suerte: ¡°plausible¡± y ¡°no plausible¡±.

En concreto, estudiaron los casos de diez personas que aseguraban haber ganado m¨¢s de 80 veces m¨¢s de 600 d¨®lares en la Loter¨ªa de Florida, que son los premios de los que se tiene registro. El que m¨¢s acumulaba dec¨ªa haber ganado 252 veces, sumando un total de 719.000 d¨®lares. Desde luego, la situaci¨®n era llamativa, pero ellos buscaban evidencia matem¨¢tica que confirmara la sospecha, porque en principio hasta los sucesos m¨¢s extra?os, como el de Fabra, pueden acontecer. ¡°Porque alguien asegure haber ganado varios premios seguidos no ha de estar mintiendo necesariamente¡±, aseguran en el art¨ªculo. Es posible que est¨¦n gastando mucho dinero en loter¨ªa y teniendo algo de suerte; de hecho, esa es la ilusi¨®n que venden los sorteos: puedes comprar un solo ticket y convertirte en multimillonario.

¡°Porque alguien asegure haber ganado varios premios seguidos no ha de estar mintiendo necesariamente¡±

Sin embargo, habitualmente no es as¨ª. Para identificar matem¨¢ticamente el crimen, en primer lugar se preguntaron: ?durante cu¨¢nto tiempo puede seguir ganando un jugador? Esto se relaciona con la llamada esperanza matem¨¢tica, que viene dada por una f¨®rmula que depende de la probabilidad del juego. Por ejemplo, si en una rifa de 200 n¨²meros se vende cada uno por tres euros, y el premio es una bicicleta valorada en 300 euros, la esperanza de cada ticket es de 1,5. No es el valor que se puede obtener (de hecho, cada n¨²mero solo puede valer 0 o 300), sino m¨¢s bien la media de los valores de todos los billetes. Adem¨¢s, es una pista de lo que suceder¨¢ si se juega durante mucho tiempo al mismo sorteo. Cuando la esperanza del valor del billete (la ganancia media menos el precio del mismo) es negativa, como suele pasar en casi todos los sorteos, el jugador acabar¨¢ perdiendo dinero.

En el estudio de la Loter¨ªa de Florida los investigadores aplicaban esta esperanza, junto con la ley de los grandes n¨²meros, para afirmar que, con una total probabilidad, antes o despu¨¦s el jugador se quedar¨¢ sin dinero. Pero: ?cu¨¢nto podr¨¢ jugar hasta perderlo todo? Suponiendo que dispone de un capital de partida S y que solo compra boletos de un tipo una y otra vez, invirtiendo sus ganancias en el juego, los investigadores propusieron una f¨®rmula para determinar el n¨²mero de premios que se podr¨ªan ganar antes de perder, en relaci¨®n con la probabilidad de ganar en el juego, el dinero inicial, y otras variables.

Pero esta f¨®rmula por s¨ª sola no vale para tener certeza estad¨ªstica del fraude. Con esta informaci¨®n estudiaban, sobre el n¨²mero total de apuestas, cu¨¢nto es el m¨ªnimo de dinero que deber¨ªa apostar el jugador sospechoso de manera que si todos los residentes de Florida gastaran igual de dinero, las posibilidades de que alguien pudiera ganar el mismo n¨²mero de veces que el jugador en cuesti¨®n fuesen todav¨ªa menores de uno sobre un mill¨®n. Si esa cantidad es demasiado grande en comparaci¨®n con los medios de los que disponga el jugador, entonces existe evidencia estad¨ªstica de timo. Concluyeron que dos de los diez sospechosos podr¨ªan simplemente haber tenido suerte, pero el resto estaban estafando. La investigaci¨®n matem¨¢tica cas¨® con total perfecci¨®n con la investigaci¨®n criminal que se desarroll¨® despu¨¦s. ¡°El tipo de coincidencias que se identifican en el art¨ªculo fueron analizadas por detectives, mostrando que esa gente estaba, en efecto, cometiendo cr¨ªmenes¡±, se?ala Skip Garibaldi, catedr¨¢tico en el departamento de matem¨¢ticas de Emory y director asociado del Instituto de Matem¨¢ticas Puras y Aplicadas de la UCLA. Este delito consiste en comprar billetes de loter¨ªa premiados, por un valor algo superior al ganador original, y es un m¨¦todo habitual utilizado para blanquear dinero no justificado.

?gata A. Tim¨®n es miembro del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT)

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.