As¨ª ayudaron las matem¨¢ticas a calcular la propagaci¨®n de epidemias

Las enfermedades contagiosas han sido una amenaza para la humanidad a lo largo de la historia. Durante siglos su propagaci¨®n permaneci¨® envuelta en el misterio, ya que se desconoc¨ªan sus causas biol¨®gicas y sus mecanismos de contagio. Como ya se ha comentado en este peri¨®dico, las matem¨¢ticas han jugado un papel relevante en la comprensi¨®n de estos procesos. En concreto, una aportaci¨®n importante se debe al gran matem¨¢tico Daniel Bernoulli (1700-1782), cuyo cumplea?os se celebrar¨ªa hoy, 8 de febrero.

Bernoulli formul¨® un modelo epidemiol¨®gico para la viruela. Para combatir esta temida enfermedad, desde principios del siglo XVIII se plante¨® en Europa la posibilidad de adoptar la inoculaci¨®n como medida preventiva. La pr¨¢ctica consist¨ªa en introducir una peque?a cantidad de material biol¨®gico procedente de un enfermo en una persona sana, de modo que esta desarrollara una versi¨®n benigna de la enfermedad, con la esperanza de que una vez superado ese trastorno la persona adquiriera inmunidad. La pr¨¢ctica no estaba exenta de riesgos, ya que un peque?o porcentaje de los inoculados pod¨ªa desarrollar la viruela y morir como consecuencia de la misma. Por esta raz¨®n, la pr¨¢ctica de la inoculaci¨®n se convirti¨® en un tema sumamente pol¨¦mico.

Bernoulli fue profesor de Anatom¨ªa, y tambi¨¦n de Matem¨¢ticas, en la Universidad de Basilea. Sus conocimientos, m¨¦dicos por un lado y matem¨¢ticos por otro, le permitieron proponer un modelo matem¨¢tico para estimar la propagaci¨®n de la viruela. Aunque en su ¨¦poca se desconoc¨ªa el agente causante de la enfermedad, Bernoulli postul¨® las siguientes hip¨®tesis epidemiol¨®gicas: la probabilidad de contraer la viruela (q) es la misma para cada persona con independencia de su edad; entre quienes enferman de viruela, la probabilidad de morir por su causa (p) es tambi¨¦n independiente de la edad; quienes sufren la viruela y la superan, no vuelven a contraerla jam¨¢s.

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Para valorar la utilidad de su f¨®rmula, Bernoulli necesitaba estimar los par¨¢metros p y q. Bas¨¢ndose probablemente en su experiencia profesional Bernoulli propuso el valor para la tasa de mortalidad p. Ahora bien, para estimar q, Bernoulli necesitaba datos, y los disponibles eran muy escasos. De hecho, el registro oficial de nacimientos y muertes y la especificaci¨®n de las causas de estas ¨²ltimas es un acontecimiento reciente en la historia europea. Una de las primeras bases de datos de nacimientos y muertes se debe a Caspar Neumann (1648-1715), p¨¢rroco luterano en la ciudad de Breslau (hoy en Polonia) y abarcan los a?os entre 1687 y 1691. Sus datos llegaron al astr¨®nomo Edmund Halley (1656-1742) que los emple¨®, entre otras cosas, para estudiar la valoraci¨®n adecuada de las anualidades (antecedentes de nuestros planes de pensiones), y a trav¨¦s de Halley llegaron finalmente hasta Bernoulli, quien pudo usarlas para calibrar su modelo.

Para calcular la tasa de contagio q, Bernoulli supuso que el n¨²mero de muertes por viruela representaba 1/13 del total de fallecimientos. Usando las tablas de Halley, dedujo que cab¨ªa atribuir a la viruela unas 100 del total de 1300 muertes registradas en dichas tablas. A continuaci¨®n compar¨® los valores proporcionados por la f¨®rmula que hab¨ªa obtenido, con p= 1/8 y diversos valores de q, con los datos de personas vivas proporcionados por las mismas tablas, y dedujo as¨ª que el mejor ajuste correspond¨ªa a q =1/8. Bernoulli atribuy¨® validez general a esos par¨¢metros y consider¨® mera coincidencia el que sus valores fueran iguales.

Una vez calibradas esas constantes pas¨® a discutir las consecuencias de su modelo con objeto de evaluar el impacto te¨®rico de la inoculaci¨®n. Para ello recurri¨® de nuevo a las tablas de Halley y supuso en primer lugar que todos los ni?os fueran inoculados al nacer y que el proceso no tuviera ning¨²n efecto secundario. Obtuvo as¨ª la esperanza media de vida para los inoculados (29,65 a?os) y la compar¨® con el valor deducido directamente de las tablas, sin excluir la mortalidad por viruela (26,57 a?os). ?La vida media de nuestros antepasados era en verdad breve!. Dedujo as¨ª que, si la viruela fuera inoculada sin consecuencias, la esperanza media de vida aumentar¨ªa unos 3 a?os, aproximadamente el 10% del total. Naturalmente se sab¨ªa que la inoculaci¨®n pod¨ªa producir graves complicaciones, aunque se daba por hecho que eso ocurr¨ªa raras veces. Bernoulli afirm¨® que la probabilidad de muerte por inoculaci¨®n era inferior al 0,5%. Todo ello justificaba, seg¨²n nuestro autor, que los gobiernos impusieran esa pr¨¢ctica por raz¨®n del bien com¨²n.

Aunque la Academia de Ciencias de Paris public¨® su trabajo en 1760, el m¨¦todo nunca fue adoptado de forma oficial y el propio Rey Luis VV de Francia morir¨ªa de viruela a?os despu¨¦s, en 1774. Solo a principios del siglo XX resurgi¨® con vigor la idea de modelizar matem¨¢ticamente la propagaci¨®n de epidemias. Desde entonces, ese punto de vista ha contribuido a dise?ar pol¨ªticas de salud p¨²blica en todo el mundo.

Miguel A. Herrero es Catedr¨¢tico de Matem¨¢tica Aplicada de la Universidad Complutense y Acad¨¦mico Correspondiente de la Real Academia de Ciencias

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.