Breve gu¨ªa matem¨¢tica para entender la obra de Escher

La nueva exposici¨®n de Maurits Cornelis Escher en Madrid, en el Palacio de Gaviria, viene precedida por un ¨¦xito internacional (m¨¢s de 700.000 visitantes en sus emplazamientos previos) que muestra la popularidad del artista holand¨¦s. En realidad Escher fue primero admirado por matem¨¢ticos y cient¨ªficos antes de obtener el reconocimiento de los cr¨ªticos de arte. Es m¨¢s, muchos matem¨¢ticos han usado su obra para representar conceptos, comenzando por su coet¨¢neo el ge¨®metra ingl¨¦s Donald Coxeter, para ilustrar la noci¨®n de simetr¨ªa.?

En sentido contrario, no hay duda de la influencia de la matem¨¢tica en la obra de Escher, sobre todo de algunos elementos geom¨¦tricos, pese a que nunca fue experto en la materia. ?l mismo confes¨®: "Me vengo ocupando de matem¨¢ticas sin darme bien cuenta de ello". Escher estuvo obsesionado con las particiones regulares de la superficie y dise?¨® multitud de mosaicos en los que las figuras blancas y negras (aves, peces, cocodrilos e incluso hombrecillos) se complementan para cubrir la imagen. La disposici¨®n de las figuras en sus obras siempre guarda cierta simetr¨ªa. Estas relaciones de simetr¨ªa no son arbitrarias, los mosaicos planos solo pueden presentar diecisiete patrones de simetr¨ªa distintos, llamados grupos cristalogr¨¢ficos. Escher pudo observar algunos de estos en sus visitas a La Alhambra de Granada en 1922 y 1936.?

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Escher tambi¨¦n explor¨® otras formas en sus mosaicos. Su serie L¨ªmite circular presenta teselaciones circulares cuyas piezas se hacen infinitamente peque?as conforme se acercan al borde. Las figuras est¨¢n inspiradas en el disco de Poincar¨¦, que representa una superficie hiperb¨®lica infinita dentro de un c¨ªrculo. El adjetivo hiperb¨®lico proviene de que la geometr¨ªa que presenta ese objeto no es la habitual, sino otra en la que los axiomas de la geometr¨ªa plana, propuestos por Euclides, no se cumplen. En concreto, el quinto postulado es el que falla: dada una l¨ªnea y un punto fuera de ella hay al menos dos paralelas a esa l¨ªnea que pasan por el punto.?

Al negar el quinto postulado de Euclides, y por ello salir del mundo de la geometr¨ªa plana euclideana que nos es familiar, aparecen solo dos posibilidades: las geometr¨ªas el¨ªpticas e hiperb¨®licas. Ninguna m¨¢s. La esfera es ejemplo de la primera de ellas. El cambio de geometr¨ªa es radical, al pasar una imagen esf¨¦rica a una l¨¢mina plana, esta se ver¨¢ deformada. As¨ª ocurre en el famoso autorretrato de "Mano sobre esfera reflectante", donde Escher ilustra su reflejo en una bola de cristal. Se trata de un efecto parecido al que presentan las anamorfosis, dibujos con apariencia deforme o regular dependiendo de d¨®nde se mire. Este tipo de im¨¢genes deformadas pueden observarse al pasear al lado de una carretera, las se?ales de tr¨¢fico pintadas se ven estiradas; o en un campo de f¨²tbol, desde la grada, desde donde las alfombras con anuncios que descansan en los laterales de las porter¨ªas no se entienden. Estos objetos encierran mensajes destinados al observador privilegiado, aquel que ve el partido por televisi¨®n o que conduce su veh¨ªculo. Ellos son quienes disfrutan de la perspectiva acertada para leer el mensaje.?

En su obra, Escher juega con la geometr¨ªa para plasmar figuras imposibles en las que conviven varias interpretaciones espaciales incompatibles entre s¨ª

En su obra, Escher juega con la geometr¨ªa para plasmar figuras imposibles en las que conviven varias interpretaciones espaciales incompatibles entre s¨ª. Para ello emplea diestros trazos o sombras que fuerzan al cerebro a dotar de profundidad a una imagen. Combinados genialmente conducen a esos universos imposibles de Escher, como en?Cascada, en la que el agua fluye de abajo a arriba, o en?Relatividad, donde conviven tres mundos con diferentes leyes gravitatorias.?

Otro elemento matem¨¢tico que emple¨® Escher en sus obras fue la conocida banda de M?bius, en su serie?Cinta de M?bius. ?ste es uno de los objetos m¨¢s simples que reta nuestra percepci¨®n. Se construye f¨¢cilmente a partir de una tira alargada de papel, dando media vuelta a uno de sus extremos y uniendo ambos. Una de las peculiaridades de este objeto es que solo tiene una cara. Si se recorre con el dedo, sin levantarlo de ella, se pasa por toda la cinta, por delante y por detr¨¢s. Adem¨¢s, es una superficie?no orientable.?Esta propiedad de algunos objetos geom¨¦tricos significa que dar una vuelta alrededor de ellos equivale a reflejarse por un espejo, transforma derecha en izquierda y viceversa; por tanto deja de tener sentido hablar de "derecha" e "izquierda", puesto que son indistinguibles. Este tipo de peculiaridades del mundo abstracto de las matem¨¢ticas, que contradicen nuestra concepci¨®n del mundo real, fueron una fuente constante de inspiraci¨®n en la obra del artista, en su b¨²squeda de universos imposibles, y conocerlas nos da las claves para apreciar y entender sus grabados.

Luis Hern¨¢ndez Corbato es investigador postdoctoral Juan de la Cierva en el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas. La exposici¨®n se puede visitar hasta el 25 de junio de 2017

Caf¨¦ y Teoremas?es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.