Tr¨ªo de musas
?De cu¨¢ntas maneras distintas pueden salir a pasear las nueve musas en grupos de tres sin repetir compa?eras?
Para resolver mentalmente el problema del gavil¨¢n y las palomas propuesto la semana pasada, la clave est¨¢ en darse cuenta de que el n¨²mero de palomas ha de ser divisible por 4, ya que uno de los sumandos es ¡°la mitad de la mitad¡± de dicho n¨²mero. Probando con 40 (ya que, adem¨¢s, el n¨²mero de palomas ha de ser algo inferior a la mitad de 100) obtenemos 40 + 40 + 20 +10 + 1 = 111, por lo que la soluci¨®n ha de ser el anterior m¨²ltiplo de 4, que es 36; efectivamente, 36 + 36 + 18 + 9 + 1 = 100.
En el problema de las cien bolas numeradas hay una peque?a trampa en forma de dato sobrante, ya que el n¨²mero total de bolas es irrelevante: 5 bolas pueden ordenarse de 5 x 4 x 3 x 2 = 120 maneras distintas y en solo una de esas ordenaciones est¨¢n las bolas de menor a mayor, por lo que la probabilidad pedida es de 1/120.
Para hallar el mayor n¨²mero obtenible multiplicando factores que sumen 100, hay que tener en cuenta varias cosas: es obvio que hay que descartar el 1, puesto que deja igual el producto; el 4 se puede sustituir por dos 2; cualquier factor n mayor que 4 dar¨ªa un producto mayor sustituy¨¦ndolo por 2 y n-2. Por lo tanto, todos los factores ser¨¢n 2 y 3, y solo habr¨¢ dos 2, ya que el producto de dos 3 (3 x 3 = 9) es mayor que el de tres 2 (2 x 2 x 2 = 8). Por lo tanto, el n¨²mero buscado es 332 x 22 = 7.412.080.755.407.364.
El del rompecabezas es uno de esos problemas que resulta trivial si se enfoca adecuadamente, pero en el que la intuici¨®n puede confundirnos. Basta darse cuenta de que con cada movimiento disminuye en 1 el n¨²mero de bloques que tenemos en ese momento, independientemente de que sean bloques de una sola pieza o de varias; como partimos de 100 piezas, har¨¢n falta 99 movimientos.?
Las musas de tres en tres
El matem¨¢tico franc¨¦s ?douard Lucas, conocido sobre todo por su Torre de Han¨®i y sus trabajos sobre la sucesi¨®n de Fibonacci, se ocup¨® asiduamente de lo que ¨¦l denominaba ¡°recreaciones matem¨¢ticas¡±, que recopil¨® en varios vol¨²menes de obligada consulta para los aficionados; en ellos, y en la l¨ªnea de algunos problemas de distribuci¨®n y combinatoria vistos recientemente, podemos encontrar, entre otros, el problema de las tr¨ªadas de musas, que puede formularse as¨ª:
Las nueve musas han ido a pasear de tres en tres un cierto n¨²mero de veces, de tal manera que cada una ha paseado con todas las dem¨¢s una y solo una vez. ?C¨®mo lo han hecho?
Carlo Frabetti?es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos?Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas?o?El gran juego. Fue guionista de?La bola de cristal.
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