Unos dados muy traviesos

Si Pedro es m¨¢s alto que Juan, y Juan es m¨¢s alto que Luis, est¨¢ claro que Pedro tambi¨¦n es m¨¢s alto que Luis. Sin embargo, si Pedro es amigo de Juan, y Juan es amigo de Luis, Pedro no tiene por qu¨¦ ser amigo de Luis. Esta propiedad de las relaciones entre ciertos elementos se denomina en matem¨¢ticas propiedad transitiva, y, como acabamos de ver, puede cumplirse o no dependiendo del tipo de elementos que comparemos y de la relaci¨®n que queramos establecer entre ellos.

B¨¢sicamente, decimos que se cumple la propiedad transitiva en un conjunto y con una relaci¨®n si, en todos los casos en los que un elemento A est¨¢ relacionado con un elemento B, y B est¨¢ relacionado con un elemento C, entonces se cumple que A est¨¢ relacionado con C.

Como hemos visto antes, esta propiedad no siempre se cumple, y en nuestro entorno podemos encontrar muchos ejemplos. Y hay un juego muy popular que tampoco la cumple: el piedra, papel, tijera: papel gana a piedra, piedra gana a tijera pero papel no gana a tijera.

Este juego es as¨ª porque nosotros hemos establecido estas normas, por lo que podr¨ªamos decir que hemos definido el juego para que sea no transitivo. Ci?¨¦ndonos a matem¨¢ticas, quiz¨¢s podr¨ªa parecer que es m¨¢s complicado encontrar una situaci¨®n como ¨¦sta, en la que se invierten los papeles en la relaci¨®n de transitividad. Si piensas eso sigue leyendo, y si no lo piensas tambi¨¦n.

Vamos a plantear un juego con dados. Pero no con unos dados ¡°habituales¡±, de los de siempre, sino con unos dados muy particulares. Son estos tres:

La idea es que elij¨¢is uno de los dados para jugar contra m¨ª, que elegir¨¦ otro despu¨¦s (os dejo elegir primero, mira que soy bueno¡­). Cuando hayamos elegido, tiramos los dos dados y anotamos la puntuaci¨®n obtenida en cada uno. Si en cada tirada gana la mayor puntuaci¨®n, y vosotros quer¨¦is ganarme, ?qu¨¦ dado elegir¨ªais para jugar? Esto es, ?qu¨¦ dado os proporcionar¨ªa una mayor probabilidad de ganarme?

Si quer¨¦is pensar un poco sobre ello parad de leer y analizad la situaci¨®n. Si ya lo hab¨¦is pensado (o si no os apetece mucho darle vueltas al coco) continuad leyendo.

Vamos a analizar las probabilidades de cada uno de los tres enfrentamientos para ver cu¨¢l os convendr¨ªa elegir para jugar.

Comparemos primeros el primer dado de la izquierda, llam¨¦mosle dado A, con el del centro, que ser¨¢ el dado B. Aqu¨ª ten¨¦is una tabla con todos los posibles resultados, en la que he coloreado de azul los casos en los que gana el dado A y en verde los casos en los que gana el dado B:

Como pod¨¦is ver, el dado A gana m¨¢s veces que el B, 20 a 16. Por tanto, no os interesa elegir el dado B, porque en ese caso yo elegir¨ªa el dado A y, a la larga, os acabar¨ªa ganando (la probabilidad de que yo gane ser¨ªa mayor).

Ahora comparemos el B con el de la derecha, que llamaremos dado C. En la siguiente tabla pod¨¦is ver c¨®mo quedar¨ªa la cosa (B en verde y C en morado):

En este caso, vemos que el dado B gana m¨¢s veces que el C, 24 a 12. Esto significa que tampoco os interesa elegir el C, ya que yo elegir¨ªa el B y tendr¨ªa mayor probabilidad de ganaros.

Bien, la cosa parece clara: si no os interesa elegir el B (porque pierde con el A) ni el C (porque pierde con el B), entonces conviene que elij¨¢is el A, ?verdad? S¨ª, s¨ª, elegid el A¡­y yo elegir¨¦ el C:

Como se puede ver en la tabla, el dado C gana m¨¢s veces que el A, de nuevo 24 a 12.

Tenemos entonces que el dado A gana al dado B, el dado B gana al dado C y el dado C gana al dado A, un ¡°piedra, papel, tijera¡± pero con dados. Esto significa que elij¨¢is el dado que elij¨¢is, lo m¨¢s probable es que siempre gane yo, ya que siempre podr¨¦ elegir un dado con mayor probabilidad de ganar que el vuestro (quiz¨¢s en realidad no sea tan bueno dej¨¢ndoos elegir primero¡­).

Estos dados tan traviesos se denominan dados no transitivos, porque, como acabamos de ver, no cumplen la propiedad transitiva (si A gana a B y B gana a C, entonces A deber¨ªa ganar a C, pero hemos visto que no es as¨ª). Este ejemplo no es ni mucho menos el ¨²nico, existen mucho juegos de tres dados no transitivos¡­y tambi¨¦n con cuatro dados, y con cinco, y general se pueden construir ciclos con el n¨²mero de dados queramos donde el primero gana al segundo, el segundo al tercero, y as¨ª sucesivamente hasta el ¨²ltimo, que gana al primero.

Una ¨²ltima curiosidad sobre estos dados. Imaginaos que ahora cada uno tiene que tirar su dado dos veces y sumar la puntuaci¨®n. ?Qu¨¦ dado elegir¨ªais ahora? Pensad, que tambi¨¦n os dejo elegir primero¡­

¡­?Lo hab¨¦is pensado? Bueno, sea como sea os cuento. En este caso tambi¨¦n est¨¢is perdidos, si eleg¨ªs primero la probabilidad de que yo gane sigue siendo mayor que la vuestra. Lo curioso es que las ventajas entre los dados se invierten. Es decir, en este nuevo juego el dado B gana al dado A, el dado C gana al dado B y el dado A gana al dado C. Os invito a que cre¨¦is vosotros unas tablas parecidas a las que os he mostrado en este art¨ªculo para esta modalidad del juego y que ve¨¢is as¨ª claramente esta inversi¨®n de ventajas.

Posiblemente, haya lectores que piensen que esto de los dados no transitivos es una mera curiosidad probabil¨ªstica sin mayor inter¨¦s, pero creo que en realidad no es as¨ª. El mero hecho de que los juegos de dados no transitivos puedan construirse con el n¨²mero que queramos de ellos ya tiene cierto inter¨¦s. Pero la cosa no se queda ah¨ª. En las altas esferas matem¨¢ticas tambi¨¦n tiene inter¨¦s este tema de los dados no transitivos. De hecho, Tim Gowers (medalla Fields en 1998) ha comenzado un proyecto tipo polymath en su blog sobre dados intransitivos. Los proyectos polymath son algo as¨ª como problemas interesantes sin resolver que se proponen para que matem¨¢ticos de todo el mundo los estudien en conjunto. En PolyMath Wiki pod¨¦is ver los que se han propuesto en la web oficial y algunos de los que se est¨¢n estudiando mediante propuestas en otras webs. ?ste de los dados no transitivos se propuso a ra¨ªz del trabajo Intransitive Dice (de Brian Conrey, James Gabbard, Katie Grant, Andrew Liu y Kent Morrison) y trata de descubrir c¨®mo de rara es esta no-transitividad.

Y para finalizar, una an¨¦cdota relacionada con estos dados. Se cuenta que en una ocasi¨®n el magnate estadounidense Warren Buffett, muy aficionado a los juegos de azar, ofreci¨® a Bill Gates jugar con un conjunto de dados no transitivos, dejando que Gates escogiera primero. Al parecer, Gates tom¨® los dados y los analiz¨® durante unos instantes¡­y acept¨® el juego, pero cedi¨¦ndole a Buffett el primer turno de elecci¨®n. No es tonto el se?or Gates, no¡­