?Cu¨¢l es el centro de un tri¨¢ngulo?

Hace unas semanas habl¨¢bamos sobre el teorema de Napole¨®n, un bonito resultado sobre la geometr¨ªa del tri¨¢ngulo que se asocia err¨®neamente al emperador franc¨¦s. En ¨¦l se habla de baricentro, punto que podr¨ªa pasar por considerarse como el centro de un tri¨¢ngulo. Aunque esto tiene sentido, el baricentro no es el ¨²nico punto al que tendr¨ªa sentido llamar centro del tri¨¢ngulo. Hoy vamos a recordar c¨®mo construir este baricentro y vamos a ver algunos otros puntos caracter¨ªsticos de un tri¨¢ngulo que tambi¨¦n podr¨ªan tener ese calificativo de centro del mismo.

Una mediana de un tri¨¢ngulo es un segmento que une un v¨¦rtice con el punto medio del lado opuesto. Por tanto, un tri¨¢ngulo cualquiera tiene tres medianas. Bien, pues se da la circunstancia de que esas tres medianas se cortan en un ¨²nico punto, que se denomina baricentro del tri¨¢ngulo. Aqu¨ª ten¨¦is una imagen de esta construcci¨®n:

Cierto es que, al menos desde mi punto de vista, este baricentro es el punto que con m¨¢s raz¨®n podr¨ªa llevar el t¨ªtulo de centro del tri¨¢ngulo, pero no es el ¨²nico, ni mucho menos. Veamos algunos de los m¨¢s destacados.

La bisectriz de un ¨¢ngulo es la l¨ªnea que divide dicho ¨¢ngulo en dos ¨¢ngulos iguales. Podr¨ªamos entonces trazar las bisectrices de los tres ¨¢ngulos del tri¨¢ngulo y ver qu¨¦ pasa. Si lo hacemos, vemos que las tres bisectrices se cortan tambi¨¦n en un ¨²nico punto, que se denomina incentro del tri¨¢ngulo. En la siguiente imagen pod¨¦is verlo:

Su nombre se debe a que es el centro de la circunferencia inscrita al tri¨¢ngulo.

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento que pasa por el punto medio del mismo. ?Qu¨¦ ocurre si trazamos las mediatrices de los tres lados del tri¨¢ngulo? Pues que, como en los casos anteriores, las tres se cortan en un ¨²nico punto, que en este caso se denomina circuncentro del tri¨¢ngulo. Lo pod¨¦is ver a continuaci¨®n:

De manera parecida al caso anterior, el nombre de este punto se debe a que es el centro de la circunferencia circunscrita al tri¨¢ngulo.

Y veamos uno m¨¢s. Una altura de un tri¨¢ngulo es el segmento trazado de manera perpendicular que va desde un v¨¦rtice hasta el lado opuesto al mismo (bueno, en realidad va desde un v¨¦rtice hasta la recta que contiene al lado opuesto, ya que en ciertos tri¨¢ngulos alguna de las alturas podr¨ªa no llegar al lado opuesto en s¨ª). Si las trazamos vemos que, de nuevo, las tres alturas de un tri¨¢ngulo se cortan en un ¨²nico punto, que se denomina ortocentro del tri¨¢ngulo. Pod¨¦is verlo aqu¨ª:

?Los quer¨¦is ver todos juntos? Pues, en el siguiente applet de GeoGebra, pod¨¦is contemplarlos por separado o todos a la vez (marcando o desmarcando las casillas correspondientes que ten¨¦is a la derecha), y tambi¨¦n pod¨¦is mover los v¨¦rtices del tri¨¢ngulo y confirmar as¨ª que los tr¨ªos de segmentos o rectas descritos anteriormente se cortan siempre en un ¨²nico punto, sea cual sea el tri¨¢ngulo de partida:

Y hay muchos m¨¢s, y cuando digo muchos os aseguro que de verdad son muchos. En la web Encyclopedia of Triangle Centers, Clark Kimberling va recopilando todos los que se van encontrando y que tienen cierto inter¨¦s.

Hasta el pasado 27 de julio, la web cuenta con m¨¢s de 14000 ¡°centros del tri¨¢ngulo¡±. Es cierto que algunos (quiz¨¢ bastantes) son un poco ¡°forzados¡±, pero no deja de ser curioso que haya tantas formas de definir puntos asociados a un tri¨¢ngulo que, de una forma y otra, puedan considerarse ¡°centros¡± del mismo.

Como ya hemos comentado por aqu¨ª (ya sab¨¦is que me encantan), una figura tan aparentemente simple como el tri¨¢ngulo esconde muchas curiosidades, algunas de ellas aut¨¦nticas maravillas. Por eso, seguiremos (m¨¢s pronto que tarde) hablando de ellos en este blog y mostrando todas esas caracter¨ªsticas que hacen que el tri¨¢ngulo sea uno de esos objetos matem¨¢ticos que no te cansas de admirar.