El gran salto entre creer y demostrar

Muchas son las conjeturas matem¨¢ticas que, despu¨¦s de llevar muchos a?os propuestas, siguen sin demostraci¨®n. Entre ellas, las que versan sobre ciertas propiedades de n¨²meros son especialmente interesantes para cualquiera que tenga conocimiento de ellas, ya que su planteamiento suele ser sencillo y tambi¨¦n suele estar al alcance de la mayor¨ªa el hecho de comprobar su veracidad o falsedad para un gran n¨²mero de casos.

Un ejemplo muy conocido es la denominada conjetura de Collatz. Esta conjetura, formulada por Lothar Collatz en 1937, dice lo siguiente:

Como dec¨ªa, la conjetura de Collatz es f¨¢cil de comprender por cualquier persona, y tambi¨¦n es sencillo comprobar si se verifica o no en un buen n¨²mero de casos, ya que las operaciones a realizar no son nada complejas.

Si realiz¨¢is esas operaciones con algunos n¨²meros, posiblemente ver¨¦is que se cumple en todos los casos. Por ejemplo, probemos con el 11:

Os invito a que prob¨¦is vosotros mismos con otros n¨²meros, pero mucho cuidado al elegirlos, ya que hay algunos n¨²meros bastante bajos que necesitan m¨¢s de 100 pasos (por ejemplo, el 27 llega al bucle final despu¨¦s de 112 pasos).

Hasta donde yo s¨¦, en la actualidad se sabe que es cierta para todos los n¨²meros menores que 2⁵⁸, pero la conjetura de Collatz sigue sin demostraci¨®n. El hecho de que se sepa que es cierta para n¨²meros tan grandes nos puede inducir a pensar que es cierta siempre, pero en matem¨¢ticas necesitamos una demostraci¨®n para asegurarlo, y en este caso todav¨ªa no la tenemos.

Otro ejemplo muy conocido es la llamada conjetura de Goldbach, propuesta por Christian Goldbach en una carta enviada a Leonhard Euler en 1742. Dicha conjetura tiene una formulaci¨®n a¨²n m¨¢s sencilla que la anterior:

Simple, clara y f¨¢cilmente verificable, al menos para n¨²meros no muy grandes. Por poner algunos ejemplos:

14 = 11 + 3

46 = 29 + 17

90 = 83 + 7

172 = 167 + 5

496 = 257 + 239

2016 = 2003 + 13

Aunque se cree que son ciertas, tanto la conjetura de Collatz? como la conjetura de Goldbach siguen, a d¨ªa de hoy, sin demostraci¨®n

Se sabe que la conjetura de Goldbach es cierta para todos los n¨²meros menores que 10¹⁸. Esto, unido a que hace cuatro a?os se demostr¨® la llamada conjetura d¨¦bil de Goldbach (aqu¨ª pod¨¦is ver las l¨ªneas generales de la demostraci¨®n comentadas por su propio autor, Harald Andr¨¦s Helfgott), hacen razonable pensar que se cumple siempre, que es cierta en todos los casos. Pero, como en el caso anterior, seguimos sin demostraci¨®n de la conjetura de Goldbach, as¨ª que por ahora no podemos asegurar que es cierta, ni tampoco que es falsa.

Y hay much¨ªsimos ejemplos m¨¢s, algunos de los cuales ser¨¢n tocados en este blog en pr¨®ximas entregas. En todos esos casos, las evidencias computacionales nos llevan, habitualmente, a asumir que es m¨¢s que probable que esas conjeturas sean ciertas, pero, como reza el t¨ªtulo de este art¨ªculo, de creer a demostrar hay un gran salto que no podemos obviar.

Y para muestra un bot¨®n, que, por cierto, es la raz¨®n principal de este art¨ªculo. Vamos a ver un nuevo ejemplo de conjetura num¨¦rica y vamos a contar su historia.

Sabemos que los enteros positivos pueden descomponerse como producto de sus factores primos (excepto el 1, cuya descomposici¨®n es ¨¦l mismo, 1). Por ejemplo, 25=5¡¤5 y 30=2¡¤3¡¤5. Vamos a decir que un n¨²mero es de tipo par si en su descomposici¨®n aparece un n¨²mero par de primos (contando las repeticiones), y que un n¨²mero es de tipo impar si es su descomposici¨®n aparece un n¨²mero impar de primos. Con estas definiciones, 25 ser¨ªa de tipo par y 30 de tipo impar. Por cierto, consideramos que el 1 es de tipo par, ya que, como el 1 no es primo, en su descomposici¨®n aparecen cero n¨²meros primos (y cero es par).

Ahora vamos a tomar un cierto n¨²mero entero positivo N y vamos a analizar de qu¨¦ tipo son los n¨²meros menores o iguales que ¨¦l. Hag¨¢moslo primero con un ejemplo, N=17. Tenemos que 1, 4, 6, 9, 10, 14, 15 y 16 son de tipo par y 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13 y el propio 17 son de tipo impar. Es decir, hay ocho de tipo par y nueve de tipo impar.

Veamos otro ejemplo, N=20. En este caso, 1, 4, 6, 9, 10, 14, 15 y 16 son de tipo par y 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 17, 18, 19 y el propio 20 son de tipo impar. En este caso, tambi¨¦n se cumple que hay m¨¢s de tipo impar (doce contra ocho).

Y uno m¨¢s, N=10. Ahora tenemos que 1, 4, 6, 9 y el propio 10 son de tipo par y 2, 3, 5, 7 y 8 son de tipo impar, por lo que en este caso tenemos igual cantidad de n¨²meros de tipo par que de tipo impar.

Teniendo claro todo esto ya podemos enunciar la conocida como conjetura de P¨®lya:

Llamando I(N) a la cantidad de n¨²meros de tipo impar menores o iguales que N y P(N) a la cantidad de n¨²mero de tipo par menores o iguales que N, la conjetura de P¨®lya dice que, para todo entero positivo N mayor que 2, siempre se cumple que I(N) ¡Ý P(N).

El matem¨¢tico h¨²ngaro George P¨®lya introdujo esta conjetura en 1919, y en los a?os posteriores se comenzaron a hacer comprobaciones num¨¦ricas mientras se buscada una demostraci¨®n. En poco tiempo se comprob¨® que la conjetura era cierta para todo N hasta 1000000, por lo que, como en los casos de Collatz y Goldbach, la creencia era que la conjetura deb¨ªa ser cierta¡­

¡­y tiene sentido, como ya hemos comentado. Conforme vamos aumentando el valor de N vemos que el enunciado de P¨®lya es siempre cierto, ninguno de los valores de N que analizamos nos dan un contraejemplo (es decir, un caso que no cumple el enunciado). Tiene sentido pensar que podr¨ªa no haber contraejemplos¡­pero no significa que no los haya.

En 1958, el matem¨¢tico ingl¨¦s Colin Brian Haselgrove demostraba que la conjetura de P¨®lya era falsa en su trabajo A disproof of a conjecture of P¨®lya. Tema resuelto, aunque sin contraejemplo expl¨ªcito. Haselgrove no encontr¨® ninguno, pero estim¨® que habr¨ªa uno del orden de 1¡¯8 ¡¤ 10³⁶¹.

Como dec¨ªamos, tema resuelto, pero con un regusto amargo. Con la demostraci¨®n ya sabemos que habr¨¢ alg¨²n n¨²mero que no cumpla la conjetura de P¨®lya, pero sin un ejemplo expl¨ªcito nos quedamos a medias, ?verdad?

Pues tranquilos, que hay m¨¢s. En 1960, R. Sherman Lehman encontraba un contraejemplo de la conjetura de P¨®lya. Concretamente, descubr¨ªa que el n¨²mero N=906180359 cumple que P(N) es mayor que I(N) en una unidad, hecho que public¨® en su trabajo On Liouville¡¯s Function. Este n¨²mero, bastante m¨¢s peque?o que la estimaci¨®n de Haselgrove, se convert¨ªa as¨ª en el primer contrajemplo expl¨ªcito de la conjetura de P¨®lya. M¨¢s adelante, en 1980, Minoru Tanaka encontraba otro contraejemplo algo menor, N=906150257. Podemos ver su trabajo en A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function.

De hecho se descubri¨® m¨¢s. Concretamente, se sabe que, despu¨¦s de ser cierta para much¨ªsimos valores, la conjetura de P¨®lya falla para la mayor¨ªa de los valores de N entre 906150257 y 906488071. El hecho de que una funci¨®n denominada funci¨®n de Liouville, en t¨¦rminos de la cual se puede escribir la conjetura de P¨®lya, tenga un m¨¢ximo en un punto de ese intervalo parece que tiene mucho que ver en ello. Investigar y profundizar en esta parte del estudio de la conjetura de P¨®lya queda ya a elecci¨®n del lector interesado.

El caso de la conjetura de P¨®lya debe servirnos para darnos cuenta de que en matem¨¢ticas no podemos vivir solamente de indicios o evidencias, sino que tenemos que llegar hasta el final, tenemos que encontrar una demostraci¨®n de nuestra creencia o un argumento que la invalide. Mientras no tengamos alguno de esos dos datos, nuestra conjetura se quedar¨¢ en eso, en una conjetura.

Y ahora os pregunto: ?conoc¨¦is m¨¢s casos de conjeturas que resultaran ser falsa a pesar de que se tuvieran suficientes indicios para pensar que podr¨ªan ser ciertas? Cont¨¢dnoslo en los comentarios.