Elecciones dif¨ªciles

En el dilema (o trilema) de las tres cajas planteado la semana pasada, para optimizar la probabilidad de obtener el premio mayor hay que abrir una primera caja, descartarla y abrir una segunda; si en la segunda hay m¨¢s dinero que en la primera, nos la quedamos; si hay menos, abrimos la tercera (si en ambas cajas hay la misma cantidad, es indiferente lo que hagamos). Si nos qued¨¢ramos con la primera caja, la probabilidad de obtener el premio mayor ser¨ªa 1/3, mientras que con la estrategia anterior sube a 2/3 (obs¨¦rvese que el trilema de las cajas es formalmente similar al problema de Monty Hall).

Ahora bien, ?siempre actuar¨ªamos as¨ª en la vida real? Si en la primera caja hubiera 10 c¨¦ntimos y en la segunda 15, ?no abrir¨ªamos la tercera? Y si en la primera hubiese un mill¨®n de euros, ?no nos quedar¨ªamos con ella? Casualmente, acaban de concederle el Nobel de econom¨ªa a Richard Thaler, pionero de la ¡°econom¨ªa conductual¡±, que hace hincapi¨¦ en las motivaciones psicol¨®gicas no siempre racionales que condicionan nuestras decisiones. Thaler suele ilustrar sus teor¨ªas planteando situaciones y paradojas de la vida real, como la siguiente: ?cu¨¢nto te costar¨ªa beberte una botella de vino que compraste por 50 d¨®lares y ahora vale 500?

En el caso de las secretarias, el problema se complica si hay m¨¢s de tres candidatas, pero la estrategia es b¨¢sicamente la misma que con las cajas: se descarta a las n primeras y se escoge a la primera de las siguientes que es mejor que todas las descartadas. ?Y cu¨¢ntas hay que descartar? La respuesta, cuya demostraci¨®n matem¨¢tica excede los l¨ªmites de esta secci¨®n (pero es f¨¢cil de encontrar en la red) es el n¨²mero entero m¨¢s pr¨®ximo a n/e, donde e es el n¨²mero de Euler: 2,718¡­ Por lo tanto, en el caso de 11 candidatas, que es el planteado inicialmente por Merrill Flood, hay que descartar a las 4 primeras y elegir a la primera de las 7 restantes que supere a la mejor de las descartadas. Pero, en la pr¨¢ctica, no comparar¨ªamos a las candidatas solo entre ellas, sino tambi¨¦n con otras secretarias conocidas previamente, por lo que es dif¨ªcil aislar este tipo de elecciones de su contexto real. En este sentido, uno de nuestros ¡°usuarios destacados¡± comenta jocosamente que si la primera candidata fuera Monica Bellucci no seguir¨ªa buscando; y, en efecto, si el criterio de selecci¨®n fuera la belleza, no parecer¨ªa prudente seguir. Como se?ala Thaler, hay que tener muy en cuenta el contexto y el perfil psicol¨®gico de quienes toman las decisiones.

La paradoja de Allais

Otro de nuestros ¡°usuarios destacados¡± se?ala la relaci¨®n entre los problemas de elecci¨®n de los que nos hemos ocupados en las ¨²ltimas semanas y la paradoja planteada por otro Nobel de econom¨ªa, el f¨ªsico franc¨¦s Maurice Allais, experto en teor¨ªa de mercados y optimizaci¨®n de recursos.

La paradoja de Allais se desprende de los resultados de dos experimentos combinados, en cada uno de los cuales se ofrecen dos opciones:

Experimento 1

-Opci¨®n A: recibir 1 mill¨®n de d¨®lares con probabilidad 100%.

-Opci¨®n B: recibir 1 mill¨®n de d¨®lares con probabilidad 89%, o 5 millones con probabilidad 10%, o nada con probabilidad 1%.

Experimento 2

-Opci¨®n A: recibir 1 mill¨®n de d¨®lares con probabilidad 11%, o nada con probabilidad 89%.

-Opci¨®n B: recibir 5 millones de d¨®lares con probabilidad 10%, o nada con probabilidad 90%.

?Qu¨¦ elegir¨ªas en cada caso?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.