El matem¨¢tico que quiere cambiar el ¡°bal¨®n imposible¡± brit¨¢nico

Puede que para el grueso de la poblaci¨®n no tenga demasiada importancia, puede que muchos lo consideren una tonter¨ªa, pero a los matem¨¢ticos nos suele molestar mucho encontrar alg¨²n error sobre matem¨¢ticas en nuestro entorno, ya sea en la calle, en la televisi¨®n o en prensa. Y m¨¢s si ese error se pod¨ªa haber evitado f¨¢cilmente con una peque?a consulta o poniendo un poco de cuidado.

No me refiero a peque?os errores de c¨¢lculo (que tambi¨¦n, revisen las operaciones antes por favor), sino a cosas como que Pi (el n¨²mero) est¨¦ mal en Pi (la pel¨ªcula) o que en la serie Castle usen el t¨¦rmino ¡°logaritmo¡± cuando en realidad se refieren a un ¡°algoritmo¡± (por cierto, parece que el error ya est¨¢ en la versi¨®n en ingl¨¦s).

Bien, pues Matt Parker, matem¨¢tico brit¨¢nico, ha encontrado un error matem¨¢tico en una se?al de tr¨¢fico y est¨¢ dispuesto a llegar donde haga falta para que dicho error se subsane. Por ello, ha realizado una petici¨®n al Parlamento Brit¨¢nico pidiendo que la se?al se sustituya por una que sea matem¨¢ticamente correcta.

La petici¨®n, a la que pod¨¦is acceder a trav¨¦s de este enlace, lleva casi 20.000 firmas en el momento de la publicaci¨®n de este art¨ªculo. Para que el gobierno responda a la petici¨®n, ¨¦sta debe pasar de 10.000 firmas, por lo que ya est¨¢ obligado a responder. Pero Matt quiere pasar de las 100.000, n¨²mero a partir del cual la petici¨®n se debatir¨ªa en el parlamento. Estaremos atentos a la misma para ver si consigue su objetivo.

?De qu¨¦ va exactamente esta petici¨®n que ha realizado Matt Parker? Igual con el nombre de la misma os hac¨¦is una idea: Update the UK Traffic Signs Regulations to a geometrically correct football. B¨¢sicamente, la cosa es que la se?al oficial que se usa cerca de los campos de f¨²tbol en Reino Unido presenta un bal¨®n que es geom¨¦tricamente imposible. Aqu¨ª ten¨¦is una imagen de dicha se?al:

Como pod¨¦is ver, en ella aparece un bal¨®n formado exclusivamente por hex¨¢gonos. Bien, pues es geom¨¦tricamente imposible que un bal¨®n de f¨²tbol est¨¦ construido solamente con hex¨¢gonos. Y la raz¨®n la podemos encontrar en la f¨®rmula de Euler. Vamos a explicar un poco todo esto.

Un bal¨®n de f¨²tbol es b¨¢sicamente un poliedro (s¨ª, algo ¡°hinchado¡±, pero un poliedro) convexo, por lo que debe cumplir la f¨®rmula de Euler. Dicha f¨®rmula, de la que habl¨¢bamos en la entrada que enlazamos en el p¨¢rrafo anterior, dice que todo poliedro convexo con C caras, A aristas y V v¨¦rtices debe cumplir lo siguiente:

C ¨C A + V = 2

Supongamos que el bal¨®n estuviese formado s¨®lo por hex¨¢gonos, y que tuviera una cierta cantidad C de caras. Cada hex¨¢gono tiene 6 lados, pero en el poliedro cada lado lo comparten dos caras, por lo que el n¨²mero de aristas del bal¨®n ser¨ªa el n¨²mero total de lados de todos los hex¨¢gonos dividido entre dos, por lo que A = 6C/2 = 3C. Por otro lado, cada hex¨¢gono tiene tambi¨¦n 6 v¨¦rtices, pero ahora cada v¨¦rtice debe ser compartido por tres caras, por lo que el n¨²mero total de v¨¦rtices del bal¨®n debe ser V = 6C/3 = 2C.

Con todo esto, calculemos lo que nos da la f¨®rmula de Euler en este caso:

C ¨C A + V = C ¨C 3C + 2C = 0

??Nos da cero!! Y, como hemos comentado, deber¨ªa dar 2. Por ello, es imposible que un bal¨®n de f¨²tbol est¨¦ construido solamente con hex¨¢gonos, y, en consecuencia, la imagen del bal¨®n que aparece en la se?al de tr¨¢fico, efectivamente, es err¨®nea.

En realidad, un bal¨®n de f¨²tbol es un icosaedro truncado, poliedro que est¨¢ formado por 12 pent¨¢gonos y 20 hex¨¢gonos, como puede verse en la siguiente imagen:

Si se hubieran preocupado de mirar cualquiera de las im¨¢genes de balones de f¨²tbol que pueden encontrarse por internet no pasar¨ªan estas cosas.

Por cierto, aqu¨ª os dejo la web de Matt, StandUp Maths, y su canal de Youtube, StandUp Mathematician, y tambi¨¦n el v¨ªdeo en el que habla del tema y presenta su petici¨®n:

Y ahora os toca a vosotros. Os invito a que us¨¦is los comentarios para hablarnos de otros errores matem¨¢ticos que os hay¨¢is encontrado a vuestro alrededor. Seguro que nos cont¨¢is cosas interesantes, y puede que si hablamos sobre estos errores podamos hacer algo para solucionarlos.