Pilas
?Hasta qu¨¦ punto podemos desplazar los objetos de una pila sin que esta se desmorone?
Para hallar la f¨®rmula del volumen de la esfera a partir de las del cilindro y el cono, como nos plante¨¢bamos la semana pasada, imaginemos apoyados sobre un mismo plano una semiesfera de radio r, un cilindro de radio r y altura r, y un cono invertido (en equilibrio inestable sobre su v¨¦rtice) tambi¨¦n de radio r y altura r. Si cortamos los tres s¨®lidos por un plano paralelo al que les sirve de base, veremos que el c¨ªrculo producido por su intersecci¨®n con el cilindro es igual a la suma de los otros dos c¨ªrculos, los de las intersecciones con el cono y con la esfera respectivamente (la demostraci¨®n es sencilla pero engorrosa, y es f¨¢cil encontrarla en internet). Y como esta relaci¨®n entre las tres secciones se cumple sea cual fuere la altura a la que se realice el corte, el volumen de la semiesfera ser¨¢, tal como vimos que establece el principio de Cavalieri, igual a la del cilindro menos la del cono, o sea:
Volumen semiesfera = ¦Ðr3 ¨C ¦Ðr3/3 = 2¦Ðr3/3
Luego el volumen de la esfera ser¨¢ 4¦Ðr3/3, que es la f¨®rmula que nos ense?aron en el colegio (aunque generalmente sin demostrarla).
Aunque el principio de los ¡°indivisibles¡± (fin¨ªsimas lonchas superpuestas, para entendernos) se atribuye a Bonaventura Cavalieri por su generalizaci¨®n y desarrollo de la idea, fue Arqu¨ªmedes quien, dos mil a?os antes, hall¨® de este modo la f¨®rmula del volumen de la esfera.
Corrimiento m¨¢ximo
Como vimos, el principio de Cavalieri se puede ilustrar con un mont¨®n de monedas iguales, pues es evidente que el volumen total de las monedas ser¨¢ el mismo si las apilamos exactamente una encima de otra, formando un cilindro, o si desplazamos lateralmente algunas de ellas. Lo que puede llevar a plantearnos otra cuesti¨®n: ?cu¨¢l es el m¨¢ximo desplazamiento lateral que permite un cierto n¨²mero de monedas iguales apiladas sin que la pila se desmorone?
En el caso trivial de una pila m¨ªnima de dos monedas, es evidente que la de arriba la podremos desplazar lateralmente hasta que su centro geom¨¦trico (que coincide con su centro de gravedad) est¨¦ justo sobre el borde de la moneda de abajo; o sea, si r es el radio de la moneda, el desplazamiento lateral m¨¢ximo es r. ?Y en una pila de tres monedas? ?Y en una pila de n monedas? ?Y en una pila de infinitas monedas?
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