La serie arm¨®nica

Imaginemos dos monedas de 6 cm de di¨¢metro una encima de otra, tal como plante¨¢bamos la semana pasada. Es evidente que la de arriba podr¨¢ sobresalir un m¨¢ximo de 3 cm, pues en ese momento su centro de gravedad (que coincide con el centro geom¨¦trico) quedar¨¢ justo encima del borde de la de abajo. Es f¨¢cil ver que, en ese momento, el centro de gravedad de esta pareja de monedas estar¨¢ en el punto medio de su radio com¨²n, por lo que si las apoyamos sobre una tercera, la del medio solo podr¨¢ sobresalir 1,5 cm del borde de la de abajo. Menos f¨¢cil de ver sin ayuda de una imagen (como la que adjunta Nacho en el comentario 25 de la semana pasada) es que si apilamos estas tres sobre una cuarta, la tercera solo podr¨¢ sobresalir 1 cm, pues, si tomamos como unidad el di¨¢metro de la moneda, los ¡°voladizos¡± m¨¢ximos son, respectivamente, 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, 1/12¡­

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Obs¨¦rvese lo deprisa que decrece el voladizo: si apil¨¢ramos monedas de 6 cm de di¨¢metro, la sexta solo podr¨ªa sobresalir 2 mm, y a partir de ah¨ª el desplazamiento ser¨ªa tan peque?o que no podr¨ªamos ajustarlo manualmente. Esto puede llevarnos a pensar que el desplazamiento m¨¢ximo de la moneda superior de la pila con respecto a la de abajo del todo puede llegar a ser de unos 8 o 9 cm; pero, por incre¨ªble que parezca, la serie

1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/12¡­

crece muy despacio, pero crece indefinidamente (es lo que en matem¨¢ticas se denomina una serie divergente), por lo que el voladizo global puede ser, en teor¨ªa, tan grande como queramos.

A quienes posean conocimientos de matem¨¢ticas no les habr¨¢ sorprendido este resultado tan contraintuitivo, porque la serie anterior es la conocida serie arm¨®nica

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6¡­

con todos sus t¨¦rminos divididos por 2, y puesto que la serie arm¨®nica es divergente, tambi¨¦n lo ser¨¢ su serie mitad.

La serie arm¨®nica se denomina as¨ª porque, como ya observ¨® Pit¨¢goras, la longitud de onda de los arm¨®nicos de una cuerda que vibra es inversamente proporcional a la longitud de dicha cuerda, de acuerdo con la serie de fracciones 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7¡­ (aunque Pit¨¢goras, obviamente, no comparaba longitudes de onda sino tonos musicales).

Se puede demostrar de forma ingeniosa y sencilla que la serie arm¨®nica crece indefinidamente. ?C¨®mo?

Series convergentes

No todas las series crecen indefinidamente: hay otras, llamadas convergentes, que se acercan tanto cuanto queramos a un valor finito, denominado l¨ªmite de la serie.

La famosa paradoja de Aquiles y la tortuga nos brinda un claro ejemplo. Si la tortuga va 1 metro por delante de Aquiles y ¨¦l es el doble de r¨¢pido que ella, cuando la tortuga haya recorrido 1 m, Aquiles habr¨¢ recorrido 2 y en ese momento la alcanzar¨¢. Ninguna paradoja, pues, si planteamos la cuesti¨®n desde el punto de vista f¨ªsico. Pero desde el punto de vista estrictamente matem¨¢tico podemos decir que cuando Aquiles ha recorrido 1 m, la tortuga ha recorrido 1/2; cuando Aquiles ha recorrido ese 1/2, la tortuga ha recorrido 1/4; cuando Aquiles ha recorrido ese 1/4, la tortuga ha recorrido 1/8¡­ Aquiles nunca alcanzar¨¢ a la tortuga porque siempre le quedar¨¢ un trecho por recorrer. A no ser que demostremos que la suma

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16¡­

es finita, o sea, que la serie es convergente. ?C¨®mo podemos demostrarlo de forma sencilla e ingeniosa?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.