La constante de Conway

Los acertijos suelen ir al final de esta secci¨®n; pero en este caso empezaremos por uno, puesto que es en s¨ª mismo el tema del art¨ªculo:

?Cu¨¢l es el siguiente n¨²mero de la secuencia 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211¡­?

Es posible que te hayan propuesto esta secuencia num¨¦rica como uno de esos acertijos de sal¨®n a medio camino entre el problema de ingenio y la broma; y hasta es posible que al conocer la soluci¨®n te hayas re¨ªdo. Y sin embargo es un asunto muy serio.

Normalmente, las soluciones de los acertijos quedan para la semana siguiente; pero en este caso tengo que darla ya para seguir avanzando (perd¨®n por el spoiler): el aspecto aparentemente jocoso de la cuesti¨®n es que cada fila es la descripci¨®n ¡°taquigr¨¢fica¡± de la anterior: un uno; dos unos; un dos y un uno; un uno, un dos y dos unos; tres unos, dos doses y un uno¡­

El gran matem¨¢tico brit¨¢nico John Conway estudi¨® esta secuencia, denominada Look-and-See (mira y di) por su peculiar forma de generaci¨®n, y deriv¨® de ella la constante que lleva su nombre, que es un n¨²mero irracional algebraico: 1,30357¡­ (un n¨²mero algebraico es soluci¨®n de una ecuaci¨®n, y la constante de Conway es la ¨²nica soluci¨®n real positiva de una ecuaci¨®n de 71? grado).

La constante de Conway aparece independientemente de cu¨¢l sea el n¨²mero inicial de la secuencia, cuyos t¨¦rminos crecen indefinidamente excepto en un caso. ?Cu¨¢l es el n¨²mero inicial que ¡°bloquea¡± el crecimiento de la secuencia?

M¨¢s dif¨ªcil todav¨ªa: la constante de Conway es el valor hacia el que tiende la raz¨®n entre¡­

Es f¨¢cil encontrar las respuestas en la red; pero m¨¢s f¨¢cil a¨²n es buscar las soluciones de un libro de acertijos en las p¨¢ginas del final, as¨ª que invito a mis sagaces lectoras/es a que intenten contestar las preguntas anteriores sin hacer trampa; la diversi¨®n y las sorpresas est¨¢n garantizadas.

El tri¨¢ngulo de Pascal

Y en este cap¨ªtulo al rev¨¦s, ahora viene lo que suele ir al principio, o sea, las soluciones de la semana pasada. Para encontrar las potencias de 2 en el tri¨¢ngulo de Pascal, no hay m¨¢s que sumar los n¨²meros de cada fila:

1 = 2⁰

1 + 1 = 2¹

1 + 2 + 1 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 2³

Un poco menos evidente es la forma de hallar en el tri¨¢ngulo de Pascal los n¨²meros de Fibonacci, que vienen dados por las sumas sucesivas de las diagonales del tri¨¢ngulo desde arriba a la derecha hacia abajo a la izquierda.

Y una interesante propiedad relacionada con los n¨²meros primos: si el primer elemento de una fila (sin contar el 1) es un n¨²mero primo, todos los dem¨¢s n¨²meros de la fila ser¨¢n divisibles por ¨¦l.

Y para terminar (que en este caso equivale a decir ¡°para empezar¡±), el tri¨¢ngulo de Pascal remite indirectamente al de Conway, como ha se?alado Eduardo Su¨¢rez (ver comentario 59 de la semana pasada).

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.