La ciencia del juego

Se puede demostrar, y as¨ª lo han hecho algunos lectores, que es imposible numerar las caras de dos cubos de forma que ados¨¢ndolos convenientemente podamos formar todos los d¨ªas del mes, tal como plante¨¢bamos la semana pasada. Efectivamente, el 0, el 1 y el 2 han de estar en ambos cubos, puesto que hemos de poder formar los n¨²meros 11, 22, 01, 02, 03¡­, 09. Quedan, por tanto, tres caras libres en cada cubo, seis en total, y siete d¨ªgitos (del 3 al 9) a situar en ellas, por lo que falta una cara. Pero como dice la famosa consigna de mayo del 68 (cuyo 50? aniversario celebramos estos d¨ªas), quienes idearon el calendario de cubos no sab¨ªan que era imposible y lo hicieron. Se da la favorable circunstancia de que el 9 es un 6 invertido, por lo que en este caso un mismo d¨ªgito vale por dos. De modo que numerando las caras de los cubos de la forma 0-1-2-3-4-5, 0-1-2-6-7-8 podemos formar, ados¨¢ndolos convenientemente, todos los d¨ªas del mes. Obviamente, esta forma de numerar las caras de los cubos no es ¨²nica. ?De cu¨¢ntas maneras diferentes podemos hacerlo?

Al lanzar cinco dados, como ocurre en el p¨®quer de dados, cada una de las 6 caras del primero puede emparejarse con cada una de las 6 caras del segundo; cada una de estas 36 parejas puede formar tr¨ªo con cada una de las 6 caras del tercer dado; cada una de estas 216 tr¨ªadas¡­ En total, tenemos 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7776 posibilidades. Por lo tanto, la probabilidad de sacar a la primera un rep¨®quer concreto, por ejemplo, de ases, es 1/7776. Como hay 6 posibles rep¨®queres, la probabilidad de sacar uno cualquiera es 6 veces mayor: 1/1296.

La probabilidad de sacar un p¨®quer de ases en el orden AAAAX (siendo X un no as cualquiera) es 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 x 5/6 = 5/7776; como X puede ocupar 5 lugares distintos, la posibilidad de que salgan 4 ases en cualquier orden es 5 veces mayor: 25/7776. Y la probabilidad de sacar cualquier p¨®quer a la primera ser¨¢ 6 veces mayor que la de sacar un p¨®quer concreto: 150/7776.

Buenas manos

Como ya hemos visto en alguna ocasi¨®n, fue precisamente estudiando las posibles combinaciones de dados en un juego de azar como Pascal empez¨® a desarrollar el c¨¢lculo de probabilidades. Si la ciencia es un juego, como sugiere el nombre de esta secci¨®n, no es menos cierto que el juego es ciencia, o puede serlo, al menos en parte.

Pasando de los dados a las cartas, algunos lectores han analizado las probabilidades de obtener distintas manos al jugar al p¨®quer. Y aunque el p¨®quer es en gran medida un juego psicol¨®gico, en el que los ¡°faroles¡± son tan importantes o m¨¢s que las buenas manos, conviene tener una idea aproximada de las probabilidades relativas a cada situaci¨®n para poder jugar ¡°cient¨ªficamente¡±.

Veamos, sin entrar en detalles, las probabilidades de obtener de entrada algunas manos:

P¨®quer: 0,00024

Full: 0,00144

Color: 0,00196

Tr¨ªo: 0,02113

Estas son las probabilidades si se juega con las 52 cartas de la baraja. A veces se apartan las de menos valor y se juega solo con 36 o 40 cartas. ?Puede esto afectar al valor relativo de determinadas juagadas?

Con un tr¨ªo servido, lo normal es pedir dos cartas con la esperanza de sacar un p¨®quer o un full. ?Cu¨¢l es la probabilidad de mejorar la jugada?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.