Torneo imaginario

En el problema de las tarjetas, planteado (mejor dicho, replanteado) la semana pasada, es habitual razonar de la siguiente manera: ¡°Hay una tarjeta con las dos caras rojas, una con las dos caras blancas y una con cada cara de un color. Si me muestran una cara roja, puede ser la tarjeta con dos caras rojas o la que tiene una cara roja y la otra blanca; y puesto que hay dos casos posibles y en uno de ellos la otra cara es roja, la probabilidad de que al dar la vuelta a la tarjeta vea otra cara cara roja es 1/2¡±. Sin embargo, este razonamiento no es correcto. ?Por qu¨¦?

Si el hijo que posee ¡°cierta caracter¨ªstica¡± es var¨®n, la probabilidad de que el otro tambi¨¦n lo sea es 1/2. Aunque no sepamos de qu¨¦ caracter¨ªstica se trata, se nos habla de un hijo concreto; distinto ser¨ªa que nos dijeran ¡°algunas caracter¨ªsticas¡±, que equivale a no decir nada, pues todos poseen algunas caracter¨ªsticas y quien habla puede no referirse a ninguna en concreto. ?Sutilezas del lenguaje? Desde luego. ?Argumento discutible? Tambi¨¦n; pero para eso estamos aqu¨ª: para detectar sutilezas y discutirlas.

La probabilidad de que Athos no haya nacido el mismo d¨ªa de la semana que D¡¯Artagnan es 6/7. La probabilidad de que Porthos haya nacido en distinto d¨ªa de la semana que los dos anteriores (si estos no han nacido el miso d¨ªa) es 5/7. La probabilidad de que Aramis haya nacido en distinto d¨ªa de la semana que los otros tres es 4/7. Por lo tanto, la probabilidad de que los cuatro hayan nacido en d¨ªas distintos es 6/7 x 5/7 x 4/7 = 120/343. Y la probabilidad de que dos de ellos hayan nacido el mismo d¨ªa de la semana ser¨¢ la complementaria: 1 ¨C 120/343 = 223/343. Pero solo si entendemos ¡°dos de ellos¡± como ¡°al menos dos de ellos¡±; si lo entendemos como ¡°dos y solo dos¡±, la cosa cambia, pues entonces habr¨ªa que excluir los tr¨ªos y las dobles parejas.

La probabilidad de que Athos y Aramis celebren su cumplea?os la misma semana es, en principio, 1/52. Pero podemos buscarle tres pies al gato (lo cual a menudo es ocioso, pero a veces resulta interesante). Primero, porque el a?o no tiene exactamente 52 semanas, sino 52 + 1/7, o 52 + 2/7 si el a?o es bisiesto. Y segundo, porque una semana es tambi¨¦n cualquier conjunto de siete d¨ªas consecutivos, no necesariamente de lunes a domingo.

Un duelo imaginario (ma non troppo)

La alusi¨®n de un lector al famoso duelo ajedrec¨ªstico entre K¨¢rpov y Kasp¨¢rov ha dado lugar a una aut¨¦ntica avalancha de reflexiones probabil¨ªsticas (ver comentarios de la semana pasada), lo que me lleva a plantear, abundando en el tema de las imprecisiones y las ambig¨¹edades, el siguiente torneo imaginario (pero pr¨®ximo a la realidad):

Kasp¨¢rov est¨¢ muy satisfecho porque ha empezado con fuerza y le lleva una clara ventaja a su rival; pero poco despu¨¦s su porcentaje de victorias es un 5% menor. ?Qu¨¦ podemos deducir de estos datos? (No se cuentan las partidas que terminan en tablas).

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.