Combinatorio, dados y probabilidades

Los datos del acertijo final de la semana pasada parecen muy insuficientes para sacar cualquier conclusi¨®n; sin embargo, hay pocos desarrollos del torneo de ajedrez imaginario que den lugar a un descenso del 5% en el porcentaje de victorias de Kasp¨¢rov. Reproduzco la acertada respuesta de nuestro ¡°usuario destacado¡± Manuel Amor¨®s:

Teniendo en cuenta que el 5% es 1/20, tendr¨ªamos que hallar dos fracciones propias que restadas dieran como resultado 1/20. Seguramente, el primer par de fracciones que cumplen son 1/4 y 1/5, ya que 1/4 ¨C 1/5 = 1/20. Pero estas proporciones no se ajustan al hecho de que Kasp¨¢rov ten¨ªa ventaja inicial sobre su rival. El siguiente par de fracciones ser¨ªan?4/5?y?6/8: 4/5 ¨C 6/8 = 1/20

Es decir, que una posible respuesta es que Kasp¨¢rov empez¨® ganando 4 de 5 partidas (descontadas las tablas) y despu¨¦s gan¨® dos partidas y perdi¨® una, reduci¨¦ndose de ese modo su porcentaje de triunfos en un 5% exacto.

El problema de las tres tarjetas (una con dos caras rojas, una con dos caras blancas y una con una cara roja y otra blanca) sigue propiciando un animado debate (ver comentarios de la semana pasada). Como se?al¨¦ en el art¨ªculo anterior, es f¨¢cil pensar que si nos muestran una cara roja, la probabilidad de que la otra cara tambi¨¦n sea roja es 1/2; pero en realidad hay tres posibilidades equiprobables: que nos muestren una cara de la tarjeta RR, que nos muestren la otra cara de RR o que nos muestren la cara roja de la tarjeta RB; en dos de estos tres casos la otra cara es roja, por tanto la probabilidad pedida es 2/3.

La combinatoria de los dados

La probabilidad de un suceso expresa la relaci¨®n entre los casos favorables y los casos posibles. Decimos que la probabilidad de sacar un 5 al lanzar un dado es 1/6 porque el dado tiene seis caras (casos posibles) y solo en una de esas caras hay un 5 (casos favorables). Este es un ejemplo trivial, pero a menudo el c¨¢lculo de probabilidades implica la resoluci¨®n previa de problemas combinatorios no siempre sencillos para determinar el n¨²mero de casos posibles y de casos favorables.

La probabil¨ªstica de un solo dado es trivial, pero con dos dados la cosa empieza a complicarse y es f¨¢cil incurrir en errores de apreciaci¨®n. Al lanzar dos dados y sumar sus puntos podemos obtener las puntuaciones comprendidas entre 2 y 12: once posibilidades, por lo que podr¨ªa parecer que la probabilidad de sacar una puntuaci¨®n concreta, por ejemplo 7, es 1/11; pero este razonamiento es err¨®neo, pues las once posibilidades no son equiprobables; hay una sola forma de obtener 12 puntos (6-6) y seis formas de obtener 7 (6-1, 5-2, 4-3, 3-4, 2-5, 1-6). Cada una de las seis caras de un dado puede emparejarse con cada una de las seis caras del otro, por lo que hay 6 x 6 = 36 parejas posibles, de la que solo una da 12 puntos y seis dan 7 puntos; por tanto, la probabilidad de obtener 12 puntos es 1/36 y la de sacar 7 puntos es 6/36 = 1/6.

Si en vez de puntos en las caras de los dos dados figuraran los d¨ªgitos del 1 al 6, ados¨¢ndolos podr¨ªamos formar los n¨²meros 11 a 16, 21 a 26, 31 a 36¡­, 61 a 66. ?Podemos numerar las caras de dos dados de manera que ados¨¢ndolos convenientemente se puedan formar todos los d¨ªas del mes? Hay que usar siempre los dos dados, expresando los n¨²meros de una sola cifra de la forma 01, 02, etc.

Naturalmente, la cosa se complica a medida que aumenta el n¨²mero de dados. ?Cu¨¢l es la probabilidad de sacar un p¨®quer a la primera con los dados de p¨®quer (valga la redundancia)? ?Y la de sacar un rep¨®quer?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.