La estructura matem¨¢tica com¨²n del ruido, la difusi¨®n de ox¨ªgeno y los LED

?Cu¨¢l es la relaci¨®n entre la difusi¨®n de ox¨ªgeno en el cuerpo humano, el funcionamiento de un panel ac¨²stico para reducir el ruido y el comportamiento de los electrones en los diodos emisores de luz (LED, por sus siglas en ingl¨¦s)? A primera vista, no mucha. Operan a escalas completamente diferentes (decenas de micras, metros y nan¨®metros, respectivamente), y su naturaleza f¨ªsica est¨¢ separada por kil¨®metros de distancia. Sin embargo tienen en com¨²n una estructura matem¨¢tica subyacente, en la que intervienen distintos campos de investigaci¨®n: an¨¢lisis arm¨®nico, ecuaciones en derivadas parciales y geometr¨ªa.

Como consecuencia de este fondo matem¨¢tico compartido, los modelos que describen estos sistemas son similares y permiten anticipar fen¨®menos an¨¢logos en todos ellos. De esta manera, cuando respiramos, el ox¨ªgeno atraviesa la barrera alveolar, una superficie muy intrincada, que extendida alcanza los 100 m?, para llegar a la sangre. Como hemos demostrado Bernard Sapoval (Ecole Polytechnique) y yo, en este proceso las mol¨¦culas tienden a concentrarse en ciertas regiones espec¨ªficas de la interfaz de los alveolos, y evitan otras totalmente. Esta caracter¨ªstica juega un papel clave en la comprensi¨®n de la robustez del pulm¨®n.

Los paneles ac¨²sticos para reducir el ruido funcionan de manera similar. Para amortiguar los sonidos no deseados se ponen en su camino obst¨¢culos hechos de material absorbente. Estos son, por ejemplo, los muros que se pueden ver a los lados de grandes carreteras o autopistas, para proteger el vecindario del tr¨¢fico. El caso es que una pared con una geometr¨ªa complicada, llena de protuberancias y hendiduras, funciona de manera mucho m¨¢s eficiente para absorber la energ¨ªa ac¨²stica que una superficie plana hecha del mismo material. Efectivamente, la propagaci¨®n de las ondas no es uniforme, sino que se concentran y se capturan en recovecos donde finalmente son absorbidas. Ah¨ª yace el secreto de la eficacia de la pared Fractal?, dise?ada a partir de ideas matem¨¢ticas.

Por ¨²ltimo, tambi¨¦n estas matem¨¢ticas nos permiten entender c¨®mo se mueven los electrones a trav¨¦s de la estructura at¨®mica de la materia, en concreto en los LED. Los LED funcionan confinando los electrones en lugares espec¨ªficos a trav¨¦s de capas de diferentes materiales semiconductores, donde son capturados por ¨¢tomos, emitiendo en el proceso su exceso de energ¨ªa en forma de luz. Los materiales utilizados en los LED son aleaciones cuya composici¨®n puede variar mucho de un lugar a otro, y cuyas interfaces son desordenadas y tienen una alta complejidad geom¨¦trica. A nivel at¨®mico los electrones son tambi¨¦n ondas cu¨¢nticas (que se propagan, difractan e interfieren entre ellas), y en este contexto intentan abrirse camino a trav¨¦s de un paisaje muy accidentado, como hemos descrito Svitlana Mayboroda (University of Minnesota) y yo en un trabajo reciente.

En t¨¦rminos matem¨¢ticos, las ecuaciones que rigen la evoluci¨®n de todos estos sistemas tienen muchas similitudes. Todas son ecuaciones en derivadas parciales el¨ªpticas que contienen el mismo operador diferencial. Un operador diferencial es la generalizaci¨®n de la derivada de una funci¨®n, pero en espacios con varias dimensiones, que proporciona informaci¨®n no solo del valor de la funci¨®n, sino tambi¨¦n de la forma en que var¨ªa la funci¨®n en cada punto. Adem¨¢s, todas las ecuaciones son lineales. Esto quiere decir, utilizando el primer ejemplo, que se puede agregar a una poblaci¨®n existente de mol¨¦culas de ox¨ªgeno, nuevas mol¨¦culas de ox¨ªgeno y toda la poblaci¨®n se difundir¨¢ de acuerdo con la misma ecuaci¨®n. En el segundo ejemplo nos permite superponer ondas ac¨²sticas (o sonidos diferentes) y la suma formar¨¢ una onda ac¨²stica (un sonido nuevo). Incluso se pueden superponer ondas cu¨¢nticas: esta es una caracter¨ªstica clave de la f¨ªsica cu¨¢ntica. Asimismo es necesario considerar que todos los procesos ocurren en un entorno muy complejo (interfaces intrincadas entre dos medios o materiales diferentes, desorden, fluctuaciones); y esta complejidad geom¨¦trica cambia toda la evoluci¨®n del sistema.

Por ello, es imprescindible emplear herramientas de diferentes campos. Por un lado, ideas del an¨¢lisis arm¨®nico, que se ocupa de la representaci¨®n de funciones como superposici¨®n de ondas b¨¢sicas (arm¨®nicos); por otro, se requieren las herramientas propias para estudiar ecuaciones en derivadas parciales el¨ªpticas; y tambi¨¦n conocimientos sobre estructuras geom¨¦tricas llamadas campos laplacianos. Este campo es de gran relevancia en f¨ªsica ya que aparece en las ecuaciones de onda (ecuaci¨®n de Maxwell, ecuaci¨®n de Schr?dinger, ecuaci¨®n de Dirac, ondas ac¨²sticas) y en las que involucran operadores el¨ªpticos (ecuaciones de difusi¨®n, ecuaci¨®n de Poisson).

Uniendo estas tres disciplinas es posible estudiar propiedades matem¨¢ticas intr¨ªnsecas de la geometr¨ªa de estas ecuaciones el¨ªpticas y as¨ª ser capaces de aumentar la absorci¨®n de las estructuras de reducci¨®n de ruido optimizando la forma de la pared para controlar la propagaci¨®n de las ondas, enfoc¨¢ndolas en alg¨²n lugar o, al contrario, expuls¨¢ndolas de lugares espec¨ªficos; o mejorando el dise?o de los LED que ser¨¢n, probablemente, una de nuestras principales fuentes de luz de baja energ¨ªa en el futuro.

Marcel Filoche es investigador en el Laboratoire de Physique de la Mati¨¨re Condens¨¦e (?cole Polytechnique)

Traducci¨®n y edici¨®n: ?gata Tim¨®n (ICMAT).

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: "Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas".