Dados y caras

A primera vista, puede parecer que esconder un as en la manga, como nuestro hipot¨¦tico tah¨²r de la semana pasada, no supone una gran ventaja, pues la probabilidad de que le sirvan alguno de los tres ases restantes es baja (?cu¨¢l exactamente?). Pero la noche es joven para el jugador profesional, y tarde o temprano podr¨¢ usar su arma secreta. ?Cu¨¢ntas manos ha de jugar para que su probabilidad de obtener al menos un -otro- as sea mayor que la de no obtenerlo?

Por otra parte, y aunque se suele hacer hincapi¨¦ en el as como carta oculta, cualquier otra carta en la manga, incluso un modest¨ªsimo 2, supone una ventaja decisiva por el mero hecho de poder elegir entre seis cartas en lugar de cinco para formar distintas combinaciones. El as es sin duda la m¨¢s conveniente, y no solo porque es la de mayor valor, sino tambi¨¦n porque puede ir en ambos extremos de una escalera: detr¨¢s del rey o delante del 2 (o de la carta m¨¢s baja si no se juega con la baraja completa).

Si en un dado c¨²bico pudi¨¦ramos colocar los n¨²meros del 1 al 6 de cualquier manera, habr¨ªa 30 posibilidades distintas. Empecemos colocando el 1 en una cara; en la opuesta puede ir cualquiera de los otros cinco n¨²meros; y en cada uno de estos casos, tras colocar un tercer n¨²mero en una de las caras laterales, en la opuesta podemos poner cualquiera de los tres restantes; tras lo cual, la pareja de n¨²meros que quedan se puede colocar de dos maneras, una imagen especular de la otra; por lo tanto, las posibilidades son 5 x 3 x 2 = 30.

En los dados reales, sin embargo, las caras opuestas siempre suman 7. Obviamente, solo hay una manera de colocar el 1 y el 6 en caras opuestas, y luego solo hay una manera de colocar el 2 y el 5 en oposici¨®n, pues las cuatro caras laterales son intercambiables; pero una vez colocados estos cuatro n¨²meros, hay dos maneras distintas de situar el 3 y el 4, una imagen especular de la otra, por lo que hay dos modelos distintos de dados ¡°ortodoxos¡±. Mirando el v¨¦rtice en el que confluyen los n¨²meros 1, 2 y 3, en un caso se suceden en el sentido de las agujas del reloj y en el otro en el sentido contrario. No he podido averiguar si en la pr¨¢ctica se dan los dos tipos con la misma frecuencia, pero tiendo a pensar que predomina el dado ¡°dextr¨®giro¡±. ?Por qu¨¦?

Y un sencillo truco matem¨¢gico: pedimos a alguien que forme una columna poniendo tres o m¨¢s dados uno encima de otro, y sin m¨¢s que echarle a la pila un r¨¢pido vistazo calculamos cu¨¢nto suman las caras ocultas. ?C¨®mo?

Queda pendiente la cuesti¨®n de por qu¨¦ en los dados reales las caras opuestas siempre suman 7. En principio, no parece que haya ninguna raz¨®n para que sea as¨ª, pues la distribuci¨®n de los n¨²meros no afecta a las probabilidades. Y sin embargo¡­

Otros dados

Los dados de seis caras son los m¨¢s habituales, pero no los ¨²nicos. Desde siempre se usa tambi¨¦n el ¡°dado de dos caras¡±: una simple moneda, y los juegos de rol han popularizado el uso de una gran variedad de dados at¨ªpicos. Los poliedros regulares nos brindan otros tantos tipos de dados con distinto n¨²mero de de caras equiprobables: 4 (tetraedro), 6 (cubo), 8 (octaedro), 12 (dodecaedro) y 20 (icosaedro). Por cierto, ?cu¨¢l de los cinco ¡°dados plat¨®nicos¡± es sustancialmente distinto de los dem¨¢s?

Invito a nuestras/os sagaces lectoras/es a imaginar otros modelos de dados con distintos n¨²meros de valores equiprobables (o no).

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.