Poliedros regulares no convexos

Uniendo los puntos medios de las caras de un tetraedro, como vimos la semana pasada, obtenemos su dual, que es otro tetraedro cuyo volumen es 1/27 del volumen del primero (por semejanza de tri¨¢ngulos, es f¨¢cil ver que su arista es 1/3). Pero solo en este caso el dual de un poliedro regular es otro poliedro del mismo tipo (dos poliedros son duales o conjugados si el n¨²mero de v¨¦rtices del primero coincide con el n¨²mero de caras del segundo y viceversa).

El dual de un cubo es un octaedro, y el del octaedro, un cubo. As¨ª que una forma sencilla de obtener otro cubo uniendo puntos, a partir de un cubo inicial, es trazar el dual de dicho cubo, que es un octaedro, y luego el dual del dual, que ser¨¢ un cubo de volumen igual a 1/27 del volumen del cubo mayor (la visi¨®n cenital de la figura permite ver que el lado del cubo menor es 1/3 del lado del mayor).

Si unimos los puntos medios de los lados de un hex¨¢gono regular, obtenemos otro hex¨¢gono regular cuya ¨¢rea es 3/4 del ¨¢rea del hex¨¢gono inicial. Tomando como unidad el lado del hex¨¢gono (que es igual al radio de la circunferencia circunscrita), el lado del tri¨¢ngulo equil¨¢tero obtenido uniendo v¨¦rtices alternos es ¡Ì3, por lo que el lado del hex¨¢gono menor ser¨¢ ¡Ì3/2 (es f¨¢cil verlo por semejanza de tri¨¢ngulos), y de ah¨ª que la raz¨®n de superficies sea 3/4. ?Qu¨¦ nos dice la secuencia 1/4, 1/2, 3/4¡­?

Cortando un cubo por un plano perpendicular a una de sus diagonales en su punto medio, obtenemos un hex¨¢gono regular. La ilustraci¨®n de la semana anterior da una pista, pues la silueta de un cubo dibujado en perspectiva en una pizarra o un papel, es un hex¨¢gono.

Solo los tri¨¢ngulos equil¨¢teros, los cuadrados y los pent¨¢gonos regulares pueden formar poliedros regulares convexos, puesto que en un v¨¦rtice han de confluir al menos tres caras, y tres ¨¢ngulos de un hex¨¢gono regular suman 360?, es decir, forman un plano; por tanto, solo sirven los tres pol¨ªgonos regulares con ¨¢ngulos menores que los del hex¨¢gono.

Poliedros de Kepler-Poinsot

Hubo que esperar dos mil a?os para que la familia de los poliedros regulares se ampliara con cuatro nuevos miembros, los poliedros regulares no convexos: el peque?o dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro y el gran icosaedro.

La primera representaci¨®n conocida del peque?o dodecaedro estrellado es un mosaico de Paolo Ucello en la Bas¨ªlica de san Marcos, en Venecia, fechado en 1430.

Sus 12 caras son pentagramas que se cortan, y en cada v¨¦rtice confluyen cinco de ellas. La disposici¨®n de sus v¨¦rtices coincide con la de un poliedro regular convexo. ?Cu¨¢l?

El gran dodecaedro estrellado tambi¨¦n est¨¢ formado por 12 caras pentagram¨¢ticas cruzadas, pero en este caso confluyen tres de ellas, y no cinco, en cada v¨¦rtice. La disposici¨®n de sus v¨¦rtices tambi¨¦n coincide con la de un poliedro regular convexo. ?Cu¨¢l?

El gran dodecaedro tiene 12 caras que son pent¨¢gonos regulares (paralelos dos a dos) que se cortan, y en cada v¨¦rtice coinciden cinco de ellos.

El gran icosaedro consta de 20 caras triangulares que se cortan, y en cada v¨¦rtice coinciden cinco de ellas.

Los cuatro poliedros regulares no convexos fueron redescubiertos y estudiados por Kepler en el siglo XVI, y luego por Louis Poinsot a principios del XIX, por lo que se denominan s¨®lidos de Kepler-Poinsot.

Invito a mis sagaces lectoras/es a examinar estos fascinantes cuerpos geom¨¦tricos y a se?alar algunas de sus caracter¨ªsticas m¨¢s notables.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.