Poliedros sorprendentes

La singularidad de un dado tetra¨¦drico, como vimos la semana pasada, estriba en que no ofrece una cara a la mirada cenital, sino un v¨¦rtice, lo que obliga a numerarlo de una manera peculiar. Pero el tetraedro, debido a que tiene el mismo n¨²mero de caras que de v¨¦rtices, tiene otra particularidad mucho m¨¢s consustancial, por as¨ª decirlo: si unimos los centros de sus caras, obtenemos otro tetraedro (?de qu¨¦ tama?o?).

En el plano, algo equivalente ocurre con todos los pol¨ªgonos regulares: si unimos los puntos medios de los lados de un tri¨¢ngulo equil¨¢tero, obtenemos otro tri¨¢ngulo equil¨¢tero de ¨¢rea cuatro veces menor; si unimos los puntos medios de los lados de un cuadrado, obtenemos otro cuadrado de ¨¢rea mitad; si unimos los puntos medios de los lados de un hex¨¢gono regular, obtenemos otro hex¨¢gono regular¡­ ?de qu¨¦ tama?o?

Sin embargo, si unimos los centros de las caras de un cubo, obtenemos un octaedro. ?C¨®mo podemos obtener otro cubo, uniendo puntos relevantes, a partir de un cubo inicial?

Si cortamos un cubo con un plano perpendicular a una de las caras, obtenemos, como secci¨®n, un cuadrado o un rect¨¢ngulo; pero variando los ¨¢ngulos de corte podemos obtener distintas figuras, algunas de ellas sorprendentes. ?Podemos cortar un cubo, mediante un plano, de forma que la secci¨®n sea un hex¨¢gono regular?

Poliedros convexos

Los cinco poliedros regulares o s¨®lidos plat¨®nicos (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro) son convexos, lo que significa que todos los ¨¢ngulos interiores formados por sus caras son menores de 180?. Una definici¨®n m¨¢s t¨¦cnica y rigurosa es que, para todas las caras de un poliedro convexo, todo el poliedro queda a un mismo lado (en el mismo semiespacio) del plano al que pertenece dicha cara.

Las caras de un poliedro regular son cuadrados (cubo), las de otro son pent¨¢gonos regulares (dodecaedro) y las de tres de ellos son tri¨¢ngulos equil¨¢teros (tetraedro, octaedro e icosaedro). Solo estos tres pol¨ªgonos pueden formar poliedros regulares. ?Por qu¨¦?

Todos los poliedros convexos, tanto los regulares como los irregulares, cumplen la f¨®rmula de Euler: C + V = A + 2, donde C es el n¨²mero de caras, V es el n¨²mero de v¨¦rtices y A es el n¨²mero de aristas (?puedes demostrar esta sencilla f¨®rmula?). As¨ª, el cubo tiene 6 caras, 8 v¨¦rtices y 12 aristas: 6 + 8 = 12 + 2.

Como hemos visto, el tetraedro es el ¨²nico poliedro regular que tiene el mismo n¨²mero de caras que de v¨¦rtices (a lo que debe su singular capacidad ¡°autorreproductora¡±); pero hay infinitos poliedros irregulares con el mismo n¨²mero de caras que de v¨¦rtices. Por ejemplo, las pir¨¢mides de Egipto tienen 5 caras (4 tri¨¢ngulos laterales y 1 base cuadrada) y 5 v¨¦rtices. ?Puedes dibujar un poliedro con 9 caras y 9 v¨¦rtices?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.