El arte (combinatoria) de sentarse a la mesa

Un hex¨¢gono convexo se puede dividir en tri¨¢ngulos, mediante diagonales que no se corten entre s¨ª, de 14 formas distintas, con lo que la secuencia de los n¨²meros de Catalan, de la que habl¨¢bamos la semana pasada, es:

1, 2, 5, 14, 42, 132¡­

La pauta que sigue esta secuencia no es f¨¢cil de deducir, pues su n-simo t¨¦rmino viene dado por la f¨®rmula Cn = (2n)!/(n+1)!n!

As¨ª, el 3er t¨¦rmino de la sucesi¨®n es 6!/4!3! = 6x5x4x3x2/4x3x2x3x2 = 5.

Los n¨²meros de Catalan aparece con frecuencia en los problemas de combinatoria y/o ayudan a resolverlos, como veremos en futuras entregas.

Alrededor de la mesa

Y hablando de combinatoria, nuestro ¡°usuario destacado¡± Francisco Montesinos propuso un interesante problema (ver comentario 2 de la semana pasada) del que a continuaci¨®n ofrezco una versi¨®n muy simplificada, como primer paso para quienes deseen profundizar en el tema:

?Cu¨¢ntas configuraciones hombres-mujeres diferentes podemos encontrar alrededor de una mesa?

Con un solo comensal, solo hay 2 posibilidades: un hombre o una mujer.

Con dos comensales, hay 3 posibilidades: dos hombres, dos mujeres, un hombre y una mujer.

Con tres comensales, hay 4 posibilidades: tres hombres, tres mujeres, dos hombres y una mujer, dos mujeres y un hombre.

Con cuatro comensales hay 6 posibilidades: cuatro hombres, cuatro mujeres, tres hombres y una mujer, tres mujeres y un hombre, dos hombres y dos mujeres sentados alternadamente (el consabido chico-chica-chico-chica protocolario), dos hombres y dos mujeres sentados no alternadamente. (Se consideran configuraciones iguales las que se pueden superponer por rotaci¨®n; por eso este es el primer caso en que un determinado n¨²mero de hombres y mujeres da lugar a dos configuraciones distintas).

?Y con cinco comensales? ?Y con seis? ?Qu¨¦ pauta sigue la secuencia?

Los problemas sobre personas sentadas alrededor de una mesa son un cl¨¢sico de la matem¨¢tica recreativa. Veamos algunos ejemplos sencillos como recordatorio o introducci¨®n al tema:

Tres parejas heterosexuales: Antonio y Berta, Carlos y Diana, Ernesto y F¨¢tima, se sientan alrededor de una mesa redonda. ?De cu¨¢ntas maneras distintas pueden hacerlo? (Al igual que antes, no se consideran distintas las configuraciones superponibles por rotaci¨®n).

?De cu¨¢ntas maneras distintas pueden sentarse de forma que Carlos y Diana, que est¨¢n enfadados, no est¨¦n juntos?

?De cu¨¢ntas maneras distintas pueden sentarse respetando la alternancia protocolaria (chico-chica-chico-chica¡­)?

?De cu¨¢ntas maneras distintas pueden saltarse dicha alternancia protocolaria?

?De cu¨¢ntas maneras distintas pueden sentarse con todos los hombres a un lado y todas las mujeres al otro?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.