S¨®lidos de Catalan

Nos pregunt¨¢bamos la semana pasada por la relaci¨®n entre los balones de f¨²tbol y los s¨®lidos arquimedianos; reproduzco, al respecto, el comentario de nuestro ¡°usuario destacado¡± Carlos Gaceo: ¡°Los balones actuales de f¨²tbol est¨¢n conformados por un conjunto de 12 pent¨¢gonos y 20 hex¨¢gonos regulares, que ocupan el 86.74% del volumen que ocupar¨ªa una esfera perfecta circunscrita al bal¨®n. Sin embargo, existe una figura geom¨¦trica llamada rombicosidodecaedro que se aproxima a¨²n m¨¢s a la forma esf¨¦rica. Est¨¢ formada por 20 tri¨¢ngulos equil¨¢teros, 30 cuadrados y 12 pent¨¢gonos regulares, teniendo un total de 62 caras. De esta manera el bal¨®n ocupar¨ªa un 94.33% del volumen de la esfera circunscrita¡±. (Hay que tener en cuenta, adem¨¢s, que al hinchar el bal¨®n sus caras se curvan ligeramente, con lo que a efectos pr¨¢cticos se convierte en una esfera).

El conjunto de 12 pent¨¢gonos y 20 hex¨¢gonos regulares es un icosaedro truncado (pues se puede obtener truncando los v¨¦rtices de un icosaedro) y, al igual que el rombicosidodecaedro, es un s¨®lido arquimediano.

Los duales de los s¨®lidos arquimedianos son los s¨®lidos de Catalan (recordemos que los v¨¦rtices del dual de un poliedro son los puntos medios de las caras del poliedro original), denominados as¨ª en honor del gran matem¨¢tico belga Eug¨¨ne Catalan, que los describi¨® a mediados del siglo XIX.

Las caras de los s¨®lidos de Catalan no son pol¨ªgonos regulares, pero son todas iguales. Y puesto que, como vimos, hay 13 s¨®lidos arquimedianos, sus duales, los s¨®lidos catalanianos, tambi¨¦n son 13:

Triaquistetraedro (12 caras y 8 v¨¦rtices)

Rombododecaedro (12 caras y 14 v¨¦rtices)

Triaquisoctaedro (24 caras y 14 v¨¦rtices)

Tetraquishexaedro (24 caras y 14 v¨¦rtices)

Icositetraedro deltoidal (24 caras y 26 v¨¦rtices)

Hexaquisoctaedro (48 caras y 26 v¨¦rtices)

Triacontaedro r¨®mbico (30 caras y 32 v¨¢rtices)

Triaquisicosaedro (60 caras y 32 v¨¦rtices)

Pentaquisdodecaedro (60 caras y 32 v¨¢rtices)

Hexecontaedro deltoidal (60 caras y 62 v¨¦rtices)

Hexaquisicosaedro (120 caras y 62 v¨¦rtices)

Icositetraedro pentagonal (24 caras y 38 v¨¦rtices)

Hexecontaedro pentagonal (60 caras y 92 v¨¦rtices)

?De qu¨¦ s¨®lido arquimediano es el dual cada uno de ellos? Propongo a mis sagaces lectoras/es este instructivo juego de emparejamientos.

N¨²meros de Catalan

Pero Eug¨¨ne Catalan, m¨¢s que por sus s¨®lidos, es conocido por sus n¨²meros. Hay varias v¨ªas para llegar a los n¨²meros de Catalan, y una de ellas consiste en ver de cu¨¢ntas maneras distintas se puede dividir en tri¨¢ngulos un pol¨ªgono convexo mediante diagonales que no se corten entre s¨ª.

Un tri¨¢ngulo ya est¨¢ dividido en tri¨¢ngulos de la ¨²nica manera posible, por lo que le corresponde el 1.

Un cuadril¨¢tero convexo se puede dividir en dos tri¨¢ngulos trazando una de sus diagonales o la otra, o sea, de 2 maneras distintas.

Un pent¨¢gono convexo se puede dividir de 5 formas distintas.

Y un hex¨¢gono, ?de cu¨¢ntas formas distintas se puede dividir en tri¨¢ngulos mediante diagonales que no se cortan?

En el caso del hept¨¢gono, las posibilidades son 42, y en el del oct¨®gono, 132.

Una vez hallado el t¨¦rmino que falta en la secuencia 1, 2, 5, x, 42, 132¡­ ?puedes decir qu¨¦ pauta sigue? O lo que es lo mismo: ?cu¨¢l es la f¨®rmula general que, para un pol¨ªgono convexo de n lados, nos da el n¨²mero de tri¨¢ngulos en que podemos dividirlo mediante diagonales que no se cortan?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.