La otra ba?era de Arqu¨ªmedes

Cierta ambig¨¹edad (mea culpa) en el enunciado de alg¨²n problema relativo al ¡°andar del borracho¡± (recorridos aleatorios) ha dado lugar a un amplio e interesante debate (ver comentarios de las dos ¨²ltimas semanas), as¨ª que, por una vez, se ha cumplido aquello de ¡°no hay mal que por bien no venga¡±.

Sobre los andares del rey borracho en el centro del tablero de ajedrez, reproduzco las conclusiones, tras arduas discusiones, de nuestro comentarista habitual Oli Lim¨®n:

Salvo error o nuevas aportaciones, las probabilidades del rey quedan as¨ª:

Probabilidad que llegue al borde en 3 tiradas: 2/4³=1/32 =0.03125

Probabilidad que llegue al borde en 4 tiradas o menos: 1/32 +18/4⁴=13/128 =0.1015625

Probabilidad que llegue al borde en 5 tiradas o menos: 13/128+108/4⁵=57/512=0.20703125

Probabilidad regreso punto de partida en 4 tiradas o menos: 1/4+36/44=25/64=0.390625

En cuanto al paseo interminable del rey borracho por un tablero ilimitado, reproduzco el comentario de otro ¡°usuario destacado¡±, Manuel Amor¨®s:

Seg¨²n Martin Gardner, la probabilidad en un paseo infinito a lo largo del ret¨ªculo, de visitar cualquier punto del mismo es 1. Dicho de otro modo, tarde o temprano, si el paseo se prolonga indefinidamente, volveremos al origen. Las cosas cambian radicalmente en una ret¨ªcula tridimensional, cito a Gardner: "En 1940, McCrea y Whipple demostraron que la probabilidad de que el andar¨ªn retorne al origen de su caminata es de solo 0,35 (aproximadamente), aunque el paseo se prolongue indefinidamente".

Si no recuerdo mal, Ian Stewart lleg¨® a la misma conclusi¨®n. La demostraci¨®n excede los l¨ªmites de esta secci¨®n, pero ah¨ª queda el dato para quienes deseen profundizar en esta interesante y escurridiza cuesti¨®n.

El rey desconfiado

Y de un rey borracho a otro desconfiado.

Es bien conocida la historia de la ba?era de Arqu¨ªmedes (de la que nos hemos ocupado alguna vez en esta misma p¨¢gina), que le dio la idea para calcular el volumen de la corona del desconfiado rey de Siracusa, Hier¨®n II.

Menos conocida y fiable es la leyenda de otra ba?era, muy grande y lujosa, que le permiti¨® a Arqu¨ªmedes lucirse por segunda vez ante el desconfiado rey. Hier¨®n hab¨ªa ordenado que le fabricaran una ba?era de bronce capaz de contener mil litros de agua (dicho en unidades actuales, obviamente), pero ten¨ªa la sensaci¨®n de que era m¨¢s peque?a de lo acordado, as¨ª que le pidi¨® a Arqu¨ªmedes que calculara su capacidad.

-?Para eso me mandas llamar? -se quej¨® el sabio-. Di que la llenen usando una vasija de diez litros y que cuenten si hay que usarla cien veces.

-Es que la ba?era ya est¨¢ llena de agua caliente y no quiero desaprovecharla -replic¨® Hier¨®n.

-Pues b¨¢?ate y que luego la vac¨ªen usando la vasija de diez litros.

-Es que no quiero utilizar una ba?era enga?osa, que no ser¨ªa digna de mi real persona.

?C¨®mo consigui¨® Arqu¨ªmedes calcular la capacidad de la ba?era sin vaciarla?

Y puesto que esta entrega aparece el 28 de diciembre, he incluido en ella, a modo de metaacertijo, una peque?a broma que mis sagaces lectoras/es tendr¨¢n que descubrir. (Una peque?a pista: la peque?a broma es un peque?o homenaje al gran Raymond Smullyan).

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica,Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.